expanda
, em uma série de Fourier-Bessel utilizando funções de Bessel de ordem zero que satisfazem as condições de contorno indicadas.
Passo 1
O enunciado pede para escrever
como série de Fourier–Bessel de ordem zero, usando as funções
cujos autovalores satisfazem a condição de contorno
cujos autovalores
Vamos, portanto, expandir
Passo 2
Usamos a ortogonalidade (com peso
onde
Multiplicando a série por (x,J_{0}(\alpha_n x)] e integrando de 0 a 2, obtemos
Passo 3
Calculemos o numerador. A identidade
dá, para
e
,
Passo 4
Agora o denominador. Uma identidade geral de Bessel é
Com
e
vem
Mas da condição de contorno
e usando segue
e usando
logo
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Juntando numerador e denominador,
Resposta
A expansão final é
onde
é a
-ésima raiz de
.