expanda f(x)=1,0<x<2, em uma série de Fourier-Bessel utilizando funções de Bessel de ordem zero que satisfazem as condições de contorno indicadas.
J_{0}(2 \alpha)+\alpha J_{0}^{\prime}(2 \alpha)=0

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(x)=1\quad\text{em }0<x<2
como série de Fourier–Bessel de ordem zero, usando as funções
\displaystyle J_{0}(\alpha_n x)
cujos autovalores \alpha_n satisfazem a condição de contorno
J_{0}(2\alpha_n)+\alpha_n\,J_{0}'(2\alpha_n)=0.
Vamos, portanto, expandir
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,J_{0}(\alpha_n x).

Passo 2

Usamos a ortogonalidade (com peso x\)) \[\int_{0}^{2}x\,J_{0}(\alpha_m x)\,J_{0}(\alpha_n x)\,dx =\begin{cases} 0,&m\neq n,\\\ N_n,&m=n, \end{cases}
onde
N_n=\int_{0}^{2}x\,[J_{0}(\alpha_n x)]^{2}dx.
Multiplicando a série por (x,J_{0}(\alpha_n x)] e integrando de 0 a 2, obtemos
\int_{0}^{2}x\,J_{0}(\alpha_n x)\,dx = A_n\,N_n \quad\Longrightarrow\quad A_n=\frac{\displaystyle\int_{0}^{2}x\,J_{0}(\alpha_n x)\,dx}{N_n}.

Passo 3

Calculemos o numerador. A identidade
\int_{0}^{a}x\,J_{0}(\lambda x)\,dx =\frac{a}{\lambda}\,J_{1}(\lambda a)
dá, para a=2 e \lambda=\alpha_n,
\int_{0}^{2}x\,J_{0}(\alpha_n x)\,dx =\frac{2}{\alpha_n}\,J_{1}(2\alpha_n).

Passo 4

Agora o denominador. Uma identidade geral de Bessel é
\int_{0}^{a}x\,[J_{0}(\lambda x)]^{2}dx =\frac{a^{2}}{2}\bigl[J_{1}^{2}(a\lambda)+J_{0}^{2}(a\lambda)\bigr].
Com a=2 e \lambda=\alpha_n vem
N_n =2\bigl[J_{1}^{2}(2\alpha_n)+J_{0}^{2}(2\alpha_n)\bigr].
Mas da condição de contorno
\;J_{0}(2\alpha_n)+\alpha_nJ_{0}'(2\alpha_n)=0
e usando J_{0}'(z)=-J_{1}(z) segue
J_{0}(2\alpha_n)=\alpha_n\,J_{1}(2\alpha_n),
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J_{0}^{2}(2\alpha_n)=\alpha_n^{2}\,J_{1}^{2}(2\alpha_n).
Substituindo em N_n obtemos
N_n =2\,J_{1}^{2}(2\alpha_n)\bigl(1+\alpha_n^{2}\bigr).

Passo 5

Juntando numerador e denominador,
A_n =\frac{\displaystyle\frac{2}{\alpha_n}J_{1}(2\alpha_n)} {2\,J_{1}^{2}(2\alpha_n)\bigl(1+\alpha_n^{2}\bigr)} =\frac{1}{\alpha_n\,(1+\alpha_n^{2})\,J_{1}(2\alpha_n)}.

Resposta

A expansão final é
\boxed{ 1=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_{0}(\alpha_n x)} {\alpha_n\,(1+\alpha_n^{2})\,J_{1}(2\alpha_n)}, }
onde \alpha_n é a n-ésima raiz de
\;J_{0}(2\alpha)+\alpha\,J_{0}'(2\alpha)=0.

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