expanda f(x)=1,0<x<2, em uma série de Fourier-Bessel utilizando funções de Bessel de ordem zero que satisfazem as condições de contorno indicadas.
J_{0}(2 \alpha)+2 \alpha J_{0}^{\prime}(2 \alpha)=0

Passo 1

O enunciado pede para expandir
f(x)=1 em 0<x<2
numa série de Fourier–Bessel de ordem zero, sujeita à condição de contorno
J_{0}(2\alpha)+2\alpha\,J_{0}'(2\alpha)=0,
ou seja, os autovalores \alpha_{n} são as raízes positivas dessa equação. Vamos usar a ortogonalidade das funções
\,J_{0}(\alpha_{n}x) com peso x em [0,2].

Passo 2

As funções próprias são
\phi_{n}(x)=J_{0}(\alpha_{n}x),
onde \alpha_{n}>0 satisfaz
J_{0}(2\alpha_{n})+2\alpha_{n}\,J_{0}'(2\alpha_{n})=0.
Pela teoria de Sturm–Liouville com peso x, elas são mutuamente ortogonais: para m\neq n
\int_{0}^{2}x\,J_{0}(\alpha_{m}x)\,J_{0}(\alpha_{n}x)\,\mathrm{d}x=0.

Passo 3

Podemos então escrever
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,J_{0}(\alpha_{n}x).
Para achar o coeficiente A_{n}, multiplicamos por x\,J_{0}(\alpha_{n}x) e integramos de 0 a 2, obtendo
A_{n} =\frac{\displaystyle\int_{0}^{2}x\,f(x)\,J_{0}(\alpha_{n}x)\,\mathrm{d}x} {\displaystyle\int_{0}^{2}x\,[J_{0}(\alpha_{n}x)]^{2}\,\mathrm{d}x}.

Passo 4

Como f(x)=1, o numerador fica
\int_{0}^{2}x\,J_{0}(\alpha_{n}x)\,\mathrm{d}x =\biggl[\frac{x}{\alpha_{n}}\,J_{1}(\alpha_{n}x)\biggr]_{0}^{2} =\frac{2}{\alpha_{n}}\,J_{1}(2\alpha_{n}).

Passo 5

Denotando
N_{n} =\int_{0}^{2}x\,[J_{0}(\alpha_{n}x)]^{2}\,\mathrm{d}x,
temos então
A_{n} =\frac{\displaystyle\frac{2}{\alpha_{n}}\,J_{1}(2\alpha_{n})} {\displaystyle N_{n}}.
O valor de N_{n} pode ser calculado explicitamente por fórmulas conhecidas de integrais de Bessel ou mantido na forma integral.

Passo 6

Reunindo, a expansão final é
\boxed{ f(x)=1 =\sum_{n=1}^{\infty} \biggl[ \frac{2\,J_{1}(2\alpha_{n})/\,\alpha_{n}} {\displaystyle\int_{0}^{2}x\,[J_{0}(\alpha_{n}x)]^{2}\,\mathrm{d}x} \biggr]\; J_{0}(\alpha_{n}x), }
onde cada \alpha_{n} é a n-ésima raiz positiva de
J_{0}(2\alpha)+2\alpha\,J_{0}'(2\alpha)=0.

Resposta

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\,J_{0}(\alpha_{n}x), \quad A_{n} =\frac{\displaystyle\frac{2}{\alpha_{n}}\,J_{1}(2\alpha_{n})} {\displaystyle\int_{0}^{2}x\,[J_{0}(\alpha_{n}x)]^{2}\,\mathrm{d}x},
com \alpha_{n}>0 tal que
J_{0}(2\alpha_{n})+2\alpha_{n}\,J_{0}'(2\alpha_{n})=0.

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