expanda
, em uma série de Fourier-Bessel utilizando funções de Bessel de ordem zero que satisfazem as condições de contorno indicadas.
Passo 1
O enunciado pede para expandir
em
numa série de Fourier–Bessel de ordem zero, sujeita à condição de contorno
numa série de Fourier–Bessel de ordem zero, sujeita à condição de contorno
ou seja, os autovalores
são as raízes positivas dessa equação. Vamos usar a ortogonalidade das funções
com peso
em
.
Passo 2
As funções próprias são
onde
satisfaz
Pela teoria de Sturm–Liouville com peso
, elas são mutuamente ortogonais: para
Passo 3
Podemos então escrever
Para achar o coeficiente
, multiplicamos por
e integramos de 0 a 2, obtendo
Passo 4
Como
, o numerador fica
Passo 5
Denotando
temos então
O valor de
pode ser calculado explicitamente por fórmulas conhecidas de integrais de Bessel ou mantido na forma integral.
Passo 6
Reunindo, a expansão final é
onde cada
é a
-ésima raiz positiva de
Resposta
com
tal que