Por que a expansão de Fourier-Legendre de uma função polinomial que esteja definida no intervalo
é necessariamente uma série finita?
Passo 1
Temos uma função polinomial
de grau
definida em
. Queremos escrevê-la como série de Legendre, ou seja
onde
são os polinômios de Legendre ortogonais em
. Nosso objetivo é mostrar que, na prática, só aparecem termos até
, pois todos os
com
são nulos.
Passo 2
A fórmula para os coeficientes é dada por
Esse resultado vem da ortogonalidade
Passo 3
Como
é polinômio de grau
, podemos escrevê-la como combinação de monômios até
. Por outro lado, cada
é um polinômio de grau
ortogonal a todos os monômios de grau menor que
. Em particular, se
então
porque cada integral
vale zero para
.
Passo 4
Logo, para todo
temos
. Isso significa que a série de Legendre de
na verdade se encerra em
, ficando
ou seja, é uma série finita.
Resposta
A expansão de uma função polinomial de grau
em polinômios de Legendre tem termos apenas de
até
, pois para
os coeficientes
são nulos pela ortogonalidade de com polinômios de grau inferior.
são nulos pela ortogonalidade de