Por que a expansão de Fourier-Legendre de uma função polinomial que esteja definida no intervalo (-1,1) é necessariamente uma série finita?

Passo 1

Temos uma função polinomial f(x) de grau n definida em (-1,1). Queremos escrevê-la como série de Legendre, ou seja
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\,P_{k}(x),
onde \{P_{k}\} são os polinômios de Legendre ortogonais em [-1,1]. Nosso objetivo é mostrar que, na prática, só aparecem termos até k=n, pois todos os a_{k} com k>n são nulos.

Passo 2

A fórmula para os coeficientes é dada por
a_{k}=\frac{2k+1}{2}\,\int_{-1}^{1}f(x)\,P_{k}(x)\,\mathrm{d}x.
Esse resultado vem da ortogonalidade
\int_{-1}^{1}P_{j}(x)\,P_{k}(x)\,\mathrm{d}x =\begin{cases} 0,&j\neq k,\\\ \frac{2}{2k+1},&j=k. \end{cases}

Passo 3

Como f(x) é polinômio de grau n, podemos escrevê-la como combinação de monômios até x^{n}. Por outro lado, cada P_{k}(x) é um polinômio de grau k ortogonal a todos os monômios de grau menor que k. Em particular, se k>n então
\int_{-1}^{1}f(x)\,P_{k}(x)\,\mathrm{d}x =\sum_{m=0}^{n}c_{m}\int_{-1}^{1}x^{m}\,P_{k}(x)\,\mathrm{d}x =0
porque cada integral \int_{-1}^{1}x^{m}P_{k}(x)\,\mathrm{d}x vale zero para m<k.

Passo 4

Logo, para todo k>n temos a_{k}=0. Isso significa que a série de Legendre de f na verdade se encerra em k=n, ficando
f(x)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\,P_{k}(x),
ou seja, é uma série finita.

Resposta

A expansão de uma função polinomial de grau n em polinômios de Legendre tem termos apenas de k=0 até k=n, pois para k>n os coeficientes
\displaystyle a_{k}=\frac{2k+1}{2}\int_{-1}^{1}f(x)P_{k}(x)\,\mathrm{d}x
são nulos pela ortogonalidade de P_{k} com polinômios de grau inferior.

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