Explique por que \log _{5} \sqrt{5}=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \log_{5}\sqrt{5} = \tfrac12. Vamos usar a definição de raiz quadrada e as propriedades de logaritmos.

Passo 2

Reconhecemos que a raiz quadrada de 5 é
\sqrt{5} = 5^{\frac12}
pois elevar 5 ao expoente \frac12 significa tirar sua raiz quadrada.

Passo 3

Usamos a propriedade de logaritmos que diz
\log_{b}(a^k) = k\,\log_{b}(a)
para qualquer base b e expoente k.

Passo 4

Aplicando essa propriedade em \log_{5}(\sqrt{5}) = \log_{5}(5^{\frac12}), obtemos
\log_{5}(5^{\frac12}) = \frac12\,\log_{5}(5) = \frac12 \times 1 = \frac12
pois \log_{5}(5)=1 pela definição de logaritmo.

Resposta

\tfrac12

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