87 Explique por que não existe função racional r tal que r(x)=2^{x} para todo número real x.
[Dica: Considere o comportamento de r(x) e de 2^{x} para x perto de \pm \infty.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe função racional r tal que
r(x)=2^{x}\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
O conteúdo que vamos usar é o comportamento assintótico de funções racionais em \pm\infty comparado ao de 2^x.
Passo 2
Seja
r(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},
onde P\) e \(Q\) são polinômios sem fator comum, com \(\deg P=m\) e \(\deg Q=n\). Defina
\[d = m - n \quad\text{e} \quad A = \frac{\text{coeficiente líder de }P}{\text{coeficiente líder de }Q}.
Então, para \lvert x\rvert grande, vale
r(x)\sim A\,x^{d},
isto é,
\lim_{x\to\infty}\frac{r(x)}{x^{d}}=A \quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty}\frac{r(x)}{x^{d}} =\begin{cases} A,&\text{se \(d é par},\ -,A,&se d é ímpar. \end{cases}]
Passo 3
Considere o caso d>0. Então r(x)\sim A\,x^{d}\to\pm\infty quando x\to-\infty, mas
2^{x}\;\xrightarrow[x\to-\infty]{}\;0.
Logo, não pode ocorrer r(x)=2^{x} para valores muito negativos de x.
Passo 4
Considere o caso d<0. Então r(x)\sim A\,x^{d}\to0 quando x\to+\infty, enquanto
2^{x}\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;+\infty.
Isso impede r(x)=2^{x} para valores muito grandes de x.
Passo 5
Considere o caso d=0. Aqui r(x)\to A (constante não nula) quando x\to\pm\infty, ao passo que