93 Explique por que logaritmos com base negativa não são definidos.
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que não faz sentido definir o logaritmo com base negativa. O conteúdo da matéria é a definição de logaritmo como inversa da função exponencial. Para resolver, vamos lembrar (
) como se define a função exponencial
e (
) quais propriedades ela precisa ter para que sua inversa – o logaritmo – exista em
.
Passo 2
A função exponencial de base
é
e, para que o logaritmo
exista e seja único para todo
, essa função deve ser contínua e injetora. Essas propriedades só ocorrem quando
Passo 3
Se tomarmos
, então para expoentes racionais com denominador par (por exemplo
) temos
que não é real quando
é negativo. Ou seja,
nem sequer está definido em
para todos os
.
Passo 4
Mesmo que tentássemos restringir a domínio a expoentes inteiros, a sequência de valores de
(com
) oscilaria de sinal conforme
par ou ímpar, impedindo continuidade e injetividade:
Sem continuidade e sem ser monotônica/injetora, não há como definir uma inversa única sobre
.
Resposta
Não podemos ter logaritmo com base negativa porque a função exponencial
deixa de ser bem–{}definida (gera valores complexos) ou perde injetividade e continuidade quando
. Como o logaritmo é a inversa dessa função, sem esses requisitos não existe um
real e unívoco para
.