93 Explique por que logaritmos com base negativa não são definidos.

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que não faz sentido definir o logaritmo com base negativa. O conteúdo da matéria é a definição de logaritmo como inversa da função exponencial. Para resolver, vamos lembrar ( 1) como se define a função exponencial f(x)=a^x e ( 2) quais propriedades ela precisa ter para que sua inversa – o logaritmo – exista em \mathbb{R}.

Passo 2

A função exponencial de base a é
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=a^x,
e, para que o logaritmo \log_a(y) exista e seja único para todo y>0, essa função deve ser contínua e injetora. Essas propriedades só ocorrem quando
a>0\quad\text{e}\quad a\neq 1.

Passo 3

Se tomarmos a<0, então para expoentes racionais com denominador par (por exemplo x=\tfrac12) temos
a^{1/2}=\sqrt{a},
que não é real quando a é negativo. Ou seja, a^x nem sequer está definido em \mathbb{R} para todos os x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Mesmo que tentássemos restringir a domínio a expoentes inteiros, a sequência de valores de a^x (com a<0) oscilaria de sinal conforme x par ou ímpar, impedindo continuidade e injetividade:
a^0=1,\quad a^1=a<0,\quad a^2=a\cdot a>0,\;\dots
Sem continuidade e sem ser monotônica/injetora, não há como definir uma inversa única sobre (0,\infty).

Resposta

Não podemos ter logaritmo com base negativa porque a função exponencial x \mapsto a^x deixa de ser bem–{}definida (gera valores complexos) ou perde injetividade e continuidade quando a<0. Como o logaritmo é a inversa dessa função, sem esses requisitos não existe um \log_a(y) real e unívoco para a<0.

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