8.1.7 Mostre que
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{4}} d x=\Gamma\left(\frac{5}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{4}}\,dx
usando a definição da função Gamma
\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}e^{-t}\,dt
e sua relação de recorrência
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\,\Gamma(\alpha).

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = x^{4}.
Então
x = t^{1/4} \quad\text{e}\quad dx = \frac{1}{4}\,t^{-3/4}\,dt.
Quando x vai de 0 a \infty, t também vai de 0 a \infty.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{4}}\,dx = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,\frac{1}{4}\,t^{-3/4}\,dt = \frac{1}{4}\int_{0}^{\infty} t^{\frac{1}{4}-1}e^{-t}\,dt.

Passo 4

Pela definição da função Gamma,
\Gamma\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr) = \int_{0}^{\infty} t^{\frac{1}{4}-1}e^{-t}\,dt.
Logo
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{4}}\,dx = \frac{1}{4}\,\Gamma\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr).

Passo 5

Usando a relação de recorrência com \alpha=\tfrac{1}{4},
\Gamma\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr) = \tfrac{1}{4}\,\Gamma\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr).
Portanto
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{4}}\,dx = \Gamma\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr).

Resposta

\int_{0}^{\infty} e^{-x^{4}}\,dx = \Gamma\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr).

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