8.1.7 Mostre que
integral0^infty e^-x^4 d x=Gamma(54)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^infty e^-x^4,dx
usando a definição da função Gamma
Gamma(alpha)=integral0^infty t^alpha-1e^-t,dt
e sua relação de recorrência
Gamma(alpha+1)=alpha,Gamma(alpha)

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = x^4
Então
x = t^1/4 e dx = 14,t^-3/4,dt
Quando x vai de 0 a infty, t também vai de 0 a infty.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral0^infty e^-x^4,dx = integral0^infty e^-t,14,t^-3/4,dt = 14integral0^infty t^14-1e^-t,dt

Passo 4

Pela definição da função Gamma,
Gammal(tfrac14r) = integral0^infty t^14-1e^-t,dt
Logo
integral0^infty e^-x^4,dx = 14,Gammal(tfrac14r)

Passo 5

Usando a relação de recorrência com alpha=tfrac14,
Gammal(tfrac54r) = tfrac14,Gammal(tfrac14r)
Portanto
integral0^infty e^-x^4,dx = Gammal(tfrac54r)

Resposta

integral0^infty e^-x^4,dx = Gammal(tfrac54r)

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