8.1.15 Expresse o coeficiente do enésimo termo da expansão de
(a) em termos dos fatoriais de inteiros,
(b) em termos das funções de fatorial duplo (!!).
(a) em termos dos fatoriais de inteiros,
(b) em termos das funções de fatorial duplo (!!).
Passo 1
O enunciado pede o coeficiente
do termo
na expansão em série de potências de
O conteúdo que vamos usar é a expansão binomial generalizada, que permite expoentes reais.
Passo 2
Para qualquer expoente real
, a expansão binomial generalizada é
onde
Logo,
.
Passo 3
Substituindo
na definição, obtemos
Passo 4
Vamos simplificar o produto
onde usamos que
Passo 5
Substituindo essa expressão em
, vem
Passo 6
Para escrever em termos de fatoriais duplos, note que
e que
. Assim