8.1.15 Expresse o coeficiente do enésimo termo da expansão de (1+x)^-1 / 2
(a) em termos dos fatoriais de inteiros,
(b) em termos das funções de fatorial duplo (!!).
Resposta: an=(-1)^n (2 n) !2^2 n(n !)^2=(-1)^n (2 n-1) ! !(2 n) ! !, n=1,2,3, ldots

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente an do termo x^n na expansão em série de potências de
(1+x)^-1/2
O conteúdo que vamos usar é a expansão binomial generalizada, que permite expoentes reais.

Passo 2

Para qualquer expoente real alpha, a expansão binomial generalizada é
(1+x)^alpha=sumn=0^inftybinomalphanx^n,
onde
binomalphan=alpha(alpha-1)(alpha-2)cdots(alpha-n+1)n!
Logo, an=binom-1/2n.

Passo 3

Substituindo alpha=-tfrac12 na definição, obtemos
an =binom-tfrac12n =l(-tfrac12r)l(-tfrac12-1r)cdotsl(-tfrac12-(n-1)r)n! =(-1)^nn!,prodk=0^n-1l(tfrac12+kr)

Passo 4

Vamos simplificar o produto
prodk=0^n-1l(tfrac12+kr) =1cdot3cdot5cdots(2n-1)2^n =(2n)!2^2n,n!,
onde usamos que
1cdot3cdot5cdots(2n-1)=(2n-1)!!, 2cdot4cdot6cdots(2n)=2^n,n!=(2n)!!

Passo 5

Substituindo essa expressão em an, vem
an =(-1)^nn!,(2n)!2^2n,n! =(-1)^n,(2n)!2^2n,(n!)^2

Passo 6

Para escrever em termos de fatoriais duplos, note que
(2n-1)!!=1cdot3cdot5cdots(2n-1), (2n)!!=2cdot4cdot6cdots(2n),
e que (2n)!= (2n-1)!!,(2n)!!. Assim
(2n)!2^2n,(n!)^2 =(2n-1)!!(2n)!!

Resposta

boxedan=(-1)^n,(2n)!2^2n,(n!)^2 ou an=(-1)^n,(2n-1)!!(2n)!!, n=1,2,3,ldots

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