8.1.15 Expresse o coeficiente do enésimo termo da expansão de (1+x)^{-1 / 2}
(a) em termos dos fatoriais de inteiros,
(b) em termos das funções de fatorial duplo (!!).
\text { Resposta: } a_{n}=(-1)^{n} \frac{(2 n) !}{2^{2 n}(n !)^{2}}=(-1)^{n} \frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !}, \quad n=1,2,3, \ldots

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente a_{n} do termo x^{n} na expansão em série de potências de
(1+x)^{-1/2}.
O conteúdo que vamos usar é a expansão binomial generalizada, que permite expoentes reais.

Passo 2

Para qualquer expoente real \alpha, a expansão binomial generalizada é
(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^{n},
onde
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.
Logo, a_{n}=\binom{-1/2}{n}.

Passo 3

Substituindo \alpha=-\tfrac12 na definição, obtemos
a_{n} =\binom{-\tfrac12}{n} =\frac{\bigl(-\tfrac12\bigr)\bigl(-\tfrac12-1\bigr)\cdots\bigl(-\tfrac12-(n-1)\bigr)}{n!} =\frac{(-1)^{n}}{n!}\,\prod_{k=0}^{n-1}\Bigl(\tfrac12+k\Bigr).

Passo 4

Vamos simplificar o produto
\prod_{k=0}^{n-1}\Bigl(\tfrac12+k\Bigr) =\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2^{n}} =\frac{(2n)!}{2^{2n}\,n!},
onde usamos que
1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=(2n-1)!!,\quad 2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2^{n}\,n!=(2n)!!.

Passo 5

Substituindo essa expressão em a_{n}, vem
a_{n} =\frac{(-1)^{n}}{n!}\,\frac{(2n)!}{2^{2n}\,n!} =(-1)^{n}\,\frac{(2n)!}{2^{2n}\,(n!)^{2}}.

Passo 6

Para escrever em termos de fatoriais duplos, note que
(2n-1)!!=1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1),\quad (2n)!!=2\cdot4\cdot6\cdots(2n),
e que (2n)!= (2n-1)!!\,(2n)!!. Assim
\frac{(2n)!}{2^{2n}\,(n!)^{2}} =\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}.

Resposta

\boxed{a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{(2n)!}{2^{2n}\,(n!)^{2}} \quad\text{ou}\quad a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!},\quad n=1,2,3,\ldots}

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