Expresse as componentes de A times B como determinantes 2 times 2. Então mostre que o produto escalar A cdot(A times B) resulta em uma expansão laplaciana de um determinante 3 times 3. Por fim, note que duas linhas do determinante 3 times 3 são idênticas e, por conseguinte, que A cdot(A times B)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
Acdot(AtimesB)=0
usando a definição das componentes do produto vetorial como determinantes 2times2 e depois reconhecendo uma expansão laplaciana de um determinante 3times3. Vamos precisar da fórmula
A=(A1,A2,A3), B=(B1,B2,B3),
da definição de AtimesB e da propriedade de que um determinante com duas linhas iguais vale zero.

Passo 2

Pela definição do produto vetorial, suas componentes são:
(AtimesB)1 = A2 & A3 B2 & B3 , (AtimesB)2 =- A1 & A3 B1 & B3 , (AtimesB)3 = A1 & A2 B1 & B2

Passo 3

O produto escalar Acdot(AtimesB) é
A1(AtimesB)1 + A2(AtimesB)2 + A3(AtimesB)3,
ou seja
A1 A2 & A3 B2 & B3 - A2 A1 & A3 B1 & B3 + A3 A1 & A2 B1 & B2

Passo 4

Observe que essa soma de três termos é precisamente a expansão de Laplace ao longo da primeira linha do seguinte determinante 3times3:
A1 & A2 & A3 A1 & A2 & A3 B1 & B2 & B3

Passo 5

Como as duas primeiras linhas desse determinante são idênticas, ele vale zero. Logo
Acdot(AtimesB)=0

Resposta

0

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