Expresse as componentes de \mathbf{A} \times \mathbf{B} como determinantes 2 \times 2. Então mostre que o produto escalar \mathbf{A} \cdot(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) resulta em uma expansão laplaciana de um determinante 3 \times 3. Por fim, note que duas linhas do determinante 3 \times 3 são idênticas e, por conseguinte, que \mathbf{A} \cdot(\mathbf{A} \times \mathbf{B})=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=0
usando a definição das componentes do produto vetorial como determinantes 2\times2 e depois reconhecendo uma expansão laplaciana de um determinante 3\times3. Vamos precisar da fórmula
\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3),\quad \mathbf{B}=(B_1,B_2,B_3),
da definição de \mathbf{A}\times\mathbf{B} e da propriedade de que um determinante com duas linhas iguais vale zero.

Passo 2

Pela definição do produto vetorial, suas componentes são:
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})_1 =\begin{vmatrix} A_2 & A_3\\\ B_2 & B_3 \end{vmatrix}, \quad (\mathbf{A}\times\mathbf{B})_2 =-\begin{vmatrix} A_1 & A_3\\\ B_1 & B_3 \end{vmatrix}, \quad (\mathbf{A}\times\mathbf{B})_3 =\begin{vmatrix} A_1 & A_2\\\ B_1 & B_2 \end{vmatrix}.

Passo 3

O produto escalar \mathbf{A}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) é
A_1(\mathbf{A}\times\mathbf{B})_1 + A_2(\mathbf{A}\times\mathbf{B})_2 + A_3(\mathbf{A}\times\mathbf{B})_3,
ou seja
A_1\begin{vmatrix} A_2 & A_3\\\ B_2 & B_3 \end{vmatrix} - A_2\begin{vmatrix} A_1 & A_3\\\ B_1 & B_3 \end{vmatrix} + A_3\begin{vmatrix} A_1 & A_2\\\ B_1 & B_2 \end{vmatrix}.

Passo 4

Observe que essa soma de três termos é precisamente a expansão de Laplace ao longo da primeira linha do seguinte determinante 3\times3:
\begin{vmatrix} A_1 & A_2 & A_3\\\ A_1 & A_2 & A_3\\\ B_1 & B_2 & B_3 \end{vmatrix}.

Passo 5

Como as duas primeiras linhas desse determinante são idênticas, ele vale zero. Logo
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=0.

Resposta

0

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