Resolva as equações lineares a cdot x=c, a times x+b=0 para x=(x1, x2, x3) com vetores constantes a neq 0, b e constante c.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema de equações vetoriais
acdotx=c, atimesx + b=0
para xinR^3, onde aneq0, b e c são dados. O conteúdo aqui é álgebra vetorial: vamos usar as propriedades do produto escalar e vetorial e decompor x em componentes paralela e perpendicular a a.

Passo 2

Primeiro, extraímos uma condição de compatibilidade: tomando o produto escalar de a com a segunda equação, temos
acdot(atimesx) + acdotb=0
Mas acdot(atimesx)=0 sempre, logo é necessário e suficiente que
acdotb=0
Se acdotbneq0, não há solução.

Passo 3

Agora assumimos acdotb=0 e escrevemos
x = xparal<=l + xperp,
onde xparal<=l é paralelo a a e xperp é perpendicular a a. Logo
xparal<=l = alpha,a, acdotxperp = 0
Usando acdotx=c obtemos
acdot(alpha,a + xperp) = alpha,(acdota) + 0 = c Longrightarrow alpha = cacdota

Passo 4

Substituindo x=alpha,a+xperp em atimesx=-b
atimesxperp = -b,
pois atimes(alpha,a)=0. Agora, para um vetor w perpendicular a a a solução da equação atimesw=u (com acdotu=0) é
w = atimes u|a|^2
Aqui u=-b, então
xperp = atimes(-b)acdota = atimesbacdota

Passo 5

Somando as duas partes obtemos a solução geral:
x = alpha,a + xperp = cacdota,a + atimesbacdota = c,a + atimesbacdota

Resposta

Se e somente se acdotb=0, a solução é
boxedx = c,a + atimesbacdota
Caso contrário, não existe solução.

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