Resolva as equações lineares
para
com vetores constantes
e constante
.
Passo 1
O enunciado pede a solução do sistema de equações vetoriais
para
, onde
,
e
são dados. O conteúdo aqui é álgebra vetorial: vamos usar as propriedades do produto escalar e vetorial e decompor
em componentes paralela e perpendicular a
.
Passo 2
Primeiro, extraímos uma condição de compatibilidade: tomando o produto escalar de
com a segunda equação, temos
Mas
sempre, logo é necessário e suficiente que
Se
, não há solução.
Passo 3
Agora assumimos
e escrevemos
onde
é paralelo a
e
é perpendicular a
. Logo
Usando
obtemos
Passo 4
Substituindo
em
dá
pois
. Agora, para um vetor
perpendicular a
a solução da equação
(com
) é
Aqui
, então
Passo 5
Somando as duas partes obtemos a solução geral:
Resposta
Se e somente se
, a solução é
Caso contrário, não existe solução.