Resolva as equações lineares \mathbf{a} \cdot \mathbf{x}=c, \mathbf{a} \times \mathbf{x}+\mathbf{b}=0 para \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) com vetores constantes \mathbf{a} \neq 0, \mathbf{b} e constante c.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema de equações vetoriais
\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}=c, \qquad \mathbf{a}\times\mathbf{x} + \mathbf{b}=0
para \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3, onde \mathbf{a}\neq0, \mathbf{b} e c são dados. O conteúdo aqui é álgebra vetorial: vamos usar as propriedades do produto escalar e vetorial e decompor \mathbf{x} em componentes paralela e perpendicular a \mathbf{a}.

Passo 2

Primeiro, extraímos uma condição de compatibilidade: tomando o produto escalar de \mathbf{a} com a segunda equação, temos
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{x}) + \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0.
Mas \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{x})=0 sempre, logo é necessário e suficiente que
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0.
Se \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\neq0, não há solução.

Passo 3

Agora assumimos \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 e escrevemos
\mathbf{x} = \mathbf{x}_\parallel + \mathbf{x}_\perp,
onde \mathbf{x}_\parallel é paralelo a \mathbf{a} e \mathbf{x}_\perp é perpendicular a \mathbf{a}. Logo
\mathbf{x}_\parallel = \alpha\,\mathbf{a}, \quad \mathbf{a}\cdot\mathbf{x}_\perp = 0.
Usando \mathbf{a}\cdot\mathbf{x}=c obtemos
\mathbf{a}\cdot(\alpha\,\mathbf{a} + \mathbf{x}_\perp) = \alpha\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}) + 0 = c \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \frac{c}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}.

Passo 4

Substituindo \mathbf{x}=\alpha\,\mathbf{a}+\mathbf{x}_\perp em \mathbf{a}\times\mathbf{x}=-\mathbf{b}
\mathbf{a}\times\mathbf{x}_\perp = -\mathbf{b},
pois \mathbf{a}\times(\alpha\,\mathbf{a})=0. Agora, para um vetor \mathbf{w} perpendicular a \mathbf{a} a solução da equação \mathbf{a}\times\mathbf{w}=\mathbf{u} (com \mathbf{a}\cdot\mathbf{u}=0) é
\mathbf{w} = \frac{\mathbf{a}\times \mathbf{u}}{\|\mathbf{a}\|^2}.
Aqui \mathbf{u}=-\mathbf{b}, então
\mathbf{x}_\perp = \frac{\mathbf{a}\times(-\mathbf{b})}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}\times\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}.

Passo 5

Somando as duas partes obtemos a solução geral:
\mathbf{x} = \alpha\,\mathbf{a} + \mathbf{x}_\perp = \frac{c}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\,\mathbf{a} + \frac{\mathbf{a}\times\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}} = \frac{c\,\mathbf{a} + \mathbf{a}\times\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}.

Resposta

Se e somente se \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0, a solução é
\boxed{\mathbf{x} = \frac{c\,\mathbf{a} + \mathbf{a}\times\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}.}
Caso contrário, não existe solução.

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