Teste o conjunto de equações lineares homogêneas
x+3 y+3 z=0, \quad x-y+z=0, \quad 2 x+y+3 z=0
para verificar se ele possui uma solução não-trivial e ache uma solução.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo
\begin{cases} x + 3y + 3z = 0,\\\ x - y + z = 0,\\\\ 2x + y + 3z = 0, \end{cases}
que pertence ao conteúdo de sistemas lineares e determinantes. Para verificar se há solução não–trivial, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante: se \det\neq0, só existe a solução trivial.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes:
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Sabemos que um sistema homogêneo A\mathbf{v}=\mathbf{0} tem apenas a solução trivial se \det(A)\neq0.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão ou eliminação:
\det(A) =1\;\det\begin{pmatrix}-1&1\\\ 1&3\end{pmatrix} -3\;\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&3\end{pmatrix} +3\;\det\begin{pmatrix}1&-1\\\ 2&1\end{pmatrix}.
Agora,
\det\begin{pmatrix}-1&1\\\ 1&3\end{pmatrix} =(-1)\cdot3-1\cdot1=-4, \quad \det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&3\end{pmatrix} =1\cdot3-1\cdot2=1, \quad \det\begin{pmatrix}1&-1\\\ 2&1\end{pmatrix} =1\cdot1-(-1)\cdot2=3.
Logo,
\det(A)=1\cdot(-4)-3\cdot1+3\cdot3=-4-3+9=2\neq0.

Passo 4

Como \det(A)=2\neq0, concluímos que o sistema homogêneo só admite a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Não existe solução não–trivial.

Resposta

O sistema possui apenas a solução trivial:
(x,y,z)=(0,0,0).

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