Teste o conjunto de equações lineares homogêneas
x+3 y+3 z=0, x-y+z=0, 2 x+y+3 z=0
para verificar se ele possui uma solução não-trivial e ache uma solução.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo
x + 3y + 3z = 0, x - y + z = 0, 2x + y + 3z = 0,
que pertence ao conteúdo de sistemas lineares e determinantes. Para verificar se há solução não–trivial, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante: se detneq0, só existe a solução trivial.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes:
A = 1 & 3 & 3 1 & -1 & 1 2 & 1 & 3
Sabemos que um sistema homogêneo Av=0 tem apenas a solução trivial se det(A)neq0.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão ou eliminação:
det(A) =1;det-1&11&3 -3;det1&12&3 +3;det1&-12&1
Agora,
det-1&11&3 =(-1)cdot3-1cdot1=-4, det1&12&3 =1cdot3-1cdot2=1, det1&-12&1 =1cdot1-(-1)cdot2=3
Logo,
det(A)=1cdot(-4)-3cdot1+3cdot3=-4-3+9=2neq0

Passo 4

Como det(A)=2neq0, concluímos que o sistema homogêneo só admite a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Não existe solução não–trivial.

Resposta

O sistema possui apenas a solução trivial:
(x,y,z)=(0,0,0)

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