Se
é o co-fator do elemento
(formado pela eliminação da
-ésima linha e da
-ésima coluna e inclusão de um sinal
), mostre que
(a)
, em que
é o determinante com os elementos
,
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado define o co-fator
de
como
onde
é a matriz obtida de
eliminando a linha
e a coluna
.
Pede-se provar duas propriedades clássicas de expansão de Laplace no determinante:
(a) a expansão segundo uma coluna ou linha dá o próprio determinante;
(b) se você tenta “misturar” colunas (ou linhas) diferentes na expansão, o resultado é zero.
Pede-se provar duas propriedades clássicas de expansão de Laplace no determinante:
(a) a expansão segundo uma coluna ou linha dá o próprio determinante;
(b) se você tenta “misturar” colunas (ou linhas) diferentes na expansão, o resultado é zero.
Passo 2
Para mostrar
, basta usar a expansão de Laplace segundo a coluna
. Por definição de expansão de Laplace:
Isso já é exatamente a primeira igualdade pedida.
Passo 3
De modo análogo, para a linha
a expansão de Laplace dá
o que prova a segunda igualdade de (a).
Passo 4
Para (b), considere a matriz
que se obtém de
trocando a coluna
pela coluna
. Então em
as colunas
e
são idênticas, logo
Por outro lado, expandindo
pela coluna
obtemos
Mas
(pois copiamos a coluna
na posição
) e
(o co-fator não muda). Logo
o que é a primeira igualdade de (b).
Passo 5
O mesmo raciocínio vale para linhas: troque na matriz
a linha
pela linha
. O determinante da nova matriz é zero, e expandindo pela linha
obtemos
que é a segunda igualdade de (b).
Resposta
(a)
(b) para
.
(b)