Se Ci j é o co-fator do elemento ai j (formado pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna e inclusão de um sinal (-1)^i+j ), mostre que
(a) sumi ai j Ci j=sumi aj i Cj i=|A|, em que |A| é o determinante com os elementos ai j,
(b) sumi ai j Ci k=sumi aj i Ck i=0, j neq k.

Passo 1

O enunciado define o co-fator Cij de aij como
Cij = (-1)^,i+jdet(Aij),
onde Aij é a matriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna j.
Pede-se provar duas propriedades clássicas de expansão de Laplace no determinante:
(a) a expansão segundo uma coluna ou linha dá o próprio determinante;
(b) se você tenta “misturar” colunas (ou linhas) diferentes na expansão, o resultado é zero.

Passo 2

Para mostrar sumiaijCij=|A|, basta usar a expansão de Laplace segundo a coluna j. Por definição de expansão de Laplace:
|A| ;=;sumi=1^n aij,Cij
Isso já é exatamente a primeira igualdade pedida.

Passo 3

De modo análogo, para a linha j a expansão de Laplace dá
|A| ;=;sumi=1^n aji,Cji,
o que prova a segunda igualdade de (a).

Passo 4

Para (b), considere a matriz B que se obtém de A trocando a coluna k pela coluna j. Então em B as colunas j e k são idênticas, logo
|B| = 0
Por outro lado, expandindo B pela coluna k obtemos
|B| ;=;sumi=1^n bik,Cik(B)
Mas bik=aij (pois copiamos a coluna j na posição k) e Cik(B)=Cik(A) (o co-fator não muda). Logo
0 = |B| = sumi=1^n aij,Cik,
o que é a primeira igualdade de (b).

Passo 5

O mesmo raciocínio vale para linhas: troque na matriz A a linha k pela linha j. O determinante da nova matriz é zero, e expandindo pela linha k obtemos
0 = sumi=1^n aji,Cki,
que é a segunda igualdade de (b).

Resposta

(a) sumiaijCij=sumiajiCji=|A|
(b) sumiaijCik=sumiajiCki=0 para jneq k.

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