Se C_{i j} é o co-fator do elemento a_{i j} (formado pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna e inclusão de um sinal (-1)^{i+j} ), mostre que
(a) \sum_{i} a_{i j} C_{i j}=\sum_{i} a_{j i} C_{j i}=|A|, em que |A| é o determinante com os elementos a_{i j},
(b) \sum_{i} a_{i j} C_{i k}=\sum_{i} a_{j i} C_{k i}=0, j \neq k.

Passo 1

O enunciado define o co-fator C_{ij} de a_{ij} como
C_{ij} = (-1)^{\,i+j}\det(A_{ij}),
onde A_{ij} é a matriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna j.
Pede-se provar duas propriedades clássicas de expansão de Laplace no determinante:
(a) a expansão segundo uma coluna ou linha dá o próprio determinante;
(b) se você tenta “misturar” colunas (ou linhas) diferentes na expansão, o resultado é zero.

Passo 2

Para mostrar \displaystyle\sum_{i}a_{ij}C_{ij}=|A|, basta usar a expansão de Laplace segundo a coluna j. Por definição de expansão de Laplace:
|A| \;=\;\sum_{i=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij}.
Isso já é exatamente a primeira igualdade pedida.

Passo 3

De modo análogo, para a linha j a expansão de Laplace dá
|A| \;=\;\sum_{i=1}^{n} a_{ji}\,C_{ji},
o que prova a segunda igualdade de (a).

Passo 4

Para (b), considere a matriz B que se obtém de A trocando a coluna k pela coluna j. Então em B as colunas j e k são idênticas, logo
|B| = 0.
Por outro lado, expandindo B pela coluna k obtemos
|B| \;=\;\sum_{i=1}^{n} b_{ik}\,C_{ik}(B).
Mas b_{ik}=a_{ij} (pois copiamos a coluna j na posição k) e C_{ik}(B)=C_{ik}(A) (o co-fator não muda). Logo
0 = |B| = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\,C_{ik},
o que é a primeira igualdade de (b).

Passo 5

O mesmo raciocínio vale para linhas: troque na matriz A a linha k pela linha j. O determinante da nova matriz é zero, e expandindo pela linha k obtemos
0 = \sum_{i=1}^{n} a_{ji}\,C_{ki},
que é a segunda igualdade de (b).

Resposta

(a) \displaystyle\sum_{i}a_{ij}C_{ij}=\sum_{i}a_{ji}C_{ji}=|A|
(b) \displaystyle\sum_{i}a_{ij}C_{ik}=\sum_{i}a_{ji}C_{ki}=0 para j\neq k.

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