Resolva as equações lineares \mathbf{a} \cdot \mathbf{x}=d, \mathbf{b} \cdot \mathbf{x}=e, \mathbf{c} \cdot \mathbf{x}=f, para \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) com vetores constantes \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} e constantes d, e, f de modo que (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} \neq 0.
\text { Resposta: }[(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}] \mathbf{x}=d(\mathbf{b} \times \mathbf{c})+e(\mathbf{c} \times \mathbf{a})+f(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \text {. }

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações lineares
\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}=d,
\mathbf{b}\cdot\mathbf{x}=e e
\mathbf{c}\cdot\mathbf{x}=f
onde \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}) é o vetor incógnita, \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} são vetores constantes e d,e,f são escalares, sob a condição
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}\neq0.
O conteúdo principal é Álgebra Vetorial, usando produto escalar, produto vetorial e produto misto (triple scalar product) para aplicar uma “regra de Cramer vetorial”.

Passo 2

Como \mathbf{b}\times\mathbf{c}, \mathbf{c}\times\mathbf{a} e \mathbf{a}\times\mathbf{b} são linearmente independentes quando
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}\neq0, podemos escrever
\mathbf{x} = \alpha\,(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) + \beta\,(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) + \gamma\,(\mathbf{a}\times\mathbf{b}).

Passo 3

Fazendo o produto escalar com \mathbf{a} e usando
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}, obtemos
d = \mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = \alpha\,(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}
Logo,
\alpha = \frac{d}{(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}}

Passo 4

De modo análogo, tomando o escalar com \mathbf{b} e \mathbf{c} e sabendo que
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}
e
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}, segue
\beta = \frac{e}{(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}} \quad\text{e}\quad \gamma = \frac{f}{(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}}

Passo 5

Substituindo \alpha,\beta,\gamma em \mathbf{x}, obtemos
\mathbf{x} = \frac{1}{(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}} \bigl(d\,(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) +e\,(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) +f\,(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\bigr).
Multiplicando ambos os lados por (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}, fica
[(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}]\,\mathbf{x} = d\,(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) + e\,(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) + f\,(\mathbf{a}\times\mathbf{b}).

Resposta

[(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}]\,\mathbf{x} = d\,(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) + e\,(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) + f\,(\mathbf{a}\times\mathbf{b}).

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