Resolva as equações lineares a cdot x=d, b cdot x=e, c cdot x=f, para x=(x1, x2, x3) com vetores constantes a, b, c e constantes d, e, f de modo que (a times b) cdot c neq 0.
Resposta: [(a times b) cdot c] x=d(b times c)+e(c times a)+f(a times b)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações lineares
acdotx=d,
bcdotx=e e
ccdotx=f
onde x=(x1,x2,x3) é o vetor incógnita, a,b,c são vetores constantes e d,e,f são escalares, sob a condição
(atimesb)cdotcneq0
O conteúdo principal é Álgebra Vetorial, usando produto escalar, produto vetorial e produto misto (triple scalar product) para aplicar uma “regra de Cramer vetorial”.

Passo 2

Como btimesc, ctimesa e atimesb são linearmente independentes quando
(atimesb)cdotcneq0, podemos escrever
x = alpha,(btimesc) + beta,(ctimesa) + gamma,(atimesb)

Passo 3

Fazendo o produto escalar com a e usando
acdot(btimesc)=(atimesb)cdotc, obtemos
d = acdotx = alpha,(atimesb)cdotc
Logo,
alpha = d(atimesb)cdotc

Passo 4

De modo análogo, tomando o escalar com b e c e sabendo que
bcdot(ctimesa)=(atimesb)cdotc
e
ccdot(atimesb)=(atimesb)cdotc, segue
beta = e(atimesb)cdotc e gamma = f(atimesb)cdotc

Passo 5

Substituindo alpha,beta,gamma em x, obtemos
x = 1(atimesb)cdotc l(d,(btimesc) +e,(ctimesa) +f,(atimesb)r)
Multiplicando ambos os lados por (atimesb)cdotc, fica
[(atimesb)cdotc],x = d,(btimesc) + e,(ctimesa) + f,(atimesb)

Resposta

[(atimesb)cdotc],x = d,(btimesc) + e,(ctimesa) + f,(atimesb)

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