As faces de um ângulo heptaédrico convexo medem respectivamente 10^circ, 20^circ, 30^circ, 40^circ, 50^circ, xe 160^circ. Entre que valores x pode variar?

Passo 1

O enunciado dá um ângulo poliédrico de 7 faces (um “ângulo heptaédrico convexo”) cujos ângulos planos entre faces (em torno do vértice) valem, respectivamente,
10^circ,;20^circ,;30^circ,;40^circ,;50^circ,;x,;160^circ
Em um ângulo poliédrico convexo, a soma de todos os ângulos planos deve ser estritamente menor que 360^circ. Vamos usar isso para achar os limites de x.

Passo 2

Somamos os valores numéricos conhecidos e incluímos x:
10^circ + 20^circ + 30^circ + 40^circ + 50^circ + 160^circ + x = 310^circ + x
Para que o ângulo seja convexo, exigimos
310^circ + x < 360^circ
Dessa desigualdade segue
x < 360^circ - 310^circ = 50^circ

Passo 3

Além disso, como cada ângulo plano é positivo em um ângulo convexo, deve-se ter
x > 0^circ

Resposta

O valor de x pode variar entre
0^circ < x < 50^circ

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