Os planos determinados pelas arestas de um triedro e pela bissetriz da face oposta interceptam-se numa reta.
Passo 1
Vamos chamar de o vértice do triedro e de , , as três arestas que saem de . Cada face oposta a uma aresta é o triângulo formado pelas outras duas arestas:
– à aresta corresponde a face ,
– à aresta corresponde a face ,
– à aresta corresponde a face .
Em cada uma dessas faces consideramos a bissetriz interna do ângulo em . A afirmação a provar é que os três planos, cada um determinado por uma aresta e pela bissetriz da face oposta, têm interseção comum numa única reta.
Passo 2
Para ficar mais claro, representamos cada aresta por um vetor unitário. Definimos
Na face oposta a AB (que é o triângulo ACD), a bissetriz interna do ângulo ang<= CAD tem direção v+ w. Analogamente, na face oposta a AC a bissetriz tem direção u+ w, e na face oposta a AD tem direção u+ v.
Passo 3
O plano determinado por AB e pela bissetriz de ACD é o plano gerado pelos vetores u e v+ w. Vamos chamar esse plano de PAB.
Analogamente, o plano determinado por AC e a bissetriz de ABD é gerado por v e u+ w; e o plano de AD com a bissetriz de ABC é gerado por w e u+ v.
Passo 4
Observe que o vetor
b ;=; u+ v+ w
é comum a todos os três planos, pois por exemplo em PAB temos
u+ v+ w ;=; u ;+;( v+ w),
ou seja, b é combinação linear de u e v+ w. Analogamente nas outras duas construções. Logo a reta de direção b passa por A e está contida em cada um dos três planos.
Resposta
A reta de interseção comum é a que passa por A e tem direção dada pelo vetor
u+ v+ w,
isto é, a bissetriz interna do ângulo diedro tridimensional formado pelas três faces do triedro.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 169