Os planos determinados pelas arestas de um triedro e pela bissetriz da face oposta interceptam-se numa reta.

Passo 1

Vamos chamar de A o vértice do triedro e de AB, AC, AD as três arestas que saem de A. Cada face oposta a uma aresta é o triângulo formado pelas outras duas arestas:
– à aresta AB corresponde a face ACD,
– à aresta AC corresponde a face ABD,
– à aresta AD corresponde a face ABC.
Em cada uma dessas faces consideramos a bissetriz interna do ângulo em A. A afirmação a provar é que os três planos, cada um determinado por uma aresta e pela bissetriz da face oposta, têm interseção comum numa única reta.

Passo 2

Para ficar mais claro, representamos cada aresta por um vetor unitário. Definimos
u = 1|AB|AB, v = 1|AC|AC, w = 1|AD|AD
Na face oposta a AB (que é o triângulo ACD), a bissetriz interna do ângulo ang<= CAD tem direção v+ w. Analogamente, na face oposta a AC a bissetriz tem direção u+ w, e na face oposta a AD tem direção u+ v.

Passo 3

O plano determinado por AB e pela bissetriz de ACD é o plano gerado pelos vetores u e v+ w. Vamos chamar esse plano de PAB.
Analogamente, o plano determinado por AC e a bissetriz de ABD é gerado por v e u+ w; e o plano de AD com a bissetriz de ABC é gerado por w e u+ v.

Passo 4

Observe que o vetor
b ;=; u+ v+ w
é comum a todos os três planos, pois por exemplo em PAB temos
u+ v+ w ;=; u ;+;( v+ w),
ou seja, b é combinação linear de u e v+ w. Analogamente nas outras duas construções. Logo a reta de direção b passa por A e está contida em cada um dos três planos.

Resposta

A reta de interseção comum é a que passa por A e tem direção dada pelo vetor
u+ v+ w,
isto é, a bissetriz interna do ângulo diedro tridimensional formado pelas três faces do triedro.

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