(FGV-17) Que relações deverào existir entre os números reais m. n. / c k para que os sistemas de equações
\begin{aligned} & \left\{\begin{array} { l } { x - y + 2 z = m } \\\ { x + 2 y - z = n } \end{array} \left\{\begin{array}{l} x-y+2 z=m \\\ x+2 y-z=n \\\\ 2 x+y+z=\prime \end{array}\right.\right. \\\ & \left\{\begin{array}{l} x-y+2 z=m \\\ x+2 y-z=n \\\ x-4 y+5 z=k \end{array}\right. \end{aligned}
sejam equivalentes, isto é. sejam possiveis e tenham as mesmas soluções?

Passo 1

O enunciado dá o sistema com duas equações em (x,y,z)\) \[\begin{cases} x - y + 2z = m,\\\ x + 2y - z = n, \end{cases}
e dois sistemas com três equações, um envolvendo c\] e outro envolvendo \(k. Queremos que cada um desses sistemas de três equações seja possível e tenha exatamente as mesmas soluções do sistema original de duas equações. Para isso, a terceira equação de cada sistema deve ser combinação linear das duas primeiras.

Passo 2

Em geral, se temos duas equações independentes
E_1:\;x - y + 2z = m, \quad E_2:\;x + 2y - z = n,
qualquer terceira equação
E_3:\;\alpha x + \beta y + \gamma z = d
não altera o conjunto solução se, e somente se, existirem escalares a e b tais que
a\,E_1 + b\,E_2 \;=\;E_3
isto é,
a(x - y + 2z) + b(x + 2y - z) =\;\alpha x + \beta y + \gamma z \quad\text{e}\quad a\,m + b\,n = d.

Passo 3

Para o sistema que inclui
2x + y + z = c
queremos
a(x - y + 2z) + b(x + 2y - z) = 2x + y + z.
Isso gera o sistema para os coeficientes:
\begin{cases} a + b = 2,\\\\ -\,a + 2b = 1,\\\\ 2a - b = 1. \end{cases}
Resolvendo, obtemos a=1 e b=1. Então c deve satisfazer
c = a\,m + b\,n = m + n.

Passo 4

Para o sistema que inclui
x - 4y + 5z = k
fazemos o mesmo:
a(x - y + 2z) + b(x + 2y - z) = x - 4y + 5z,
levando ao sistema
\begin{cases} a + b = 1,\\\\ -\,a + 2b = -4,\\\\ 2a - b = 5. \end{cases}
Daí vem a=2 e b=-1. Logo
k = a\,m + b\,n = 2m - n.

Resposta

c = m + n e k = 2m - n.

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