(Fatec-2004) No triângulo ABC tem-se que \hat{B A C} mede 80^{\circ}, \hat{A B C} mede 40^{\circ} e B C=4 \mathrm{~cm}. Se sen 20^{\circ}=k, então a medida de AC, em centímetros, é dada por:
a) 2
b) \frac{4}{\mathrm{k}}
b) \frac{2}{1-2 \mathrm{k}^{2}}
d) \frac{2 \sqrt{1-2 \mathrm{k}^{2}}}{1-2 \mathrm{k}^{2}}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com \angle BAC=80^\circ, \angle ABC=40^\circ e BC=4\text{ cm}. Queremos AC. Vamos usar a Lei dos Senos e depois identidades trigonométricas.

Passo 2

Pela Lei dos Senos:
\frac{AC}{\sin \angle ABC}=\frac{BC}{\sin \angle BAC}.
Substituindo \angle ABC=40^\circ, \angle BAC=80^\circ e BC=4:
AC=4\;\frac{\sin 40^\circ}{\sin 80^\circ}.

Passo 3

Usamos \sin 80^\circ=\sin(2\cdot40^\circ)=2\sin40^\circ\cos40^\circ, logo
AC=\frac{4\sin40^\circ}{2\sin40^\circ\cos40^\circ} =\frac{2}{\cos40^\circ}.

Passo 4

Como k=\sin20^\circ e \cos40^\circ=\cos(2\cdot20^\circ)=1-2\sin^2 20^\circ=1-2k^2, obtemos
AC=\frac{2}{1-2k^2}.

Resposta

(c) \displaystyle \frac{2}{1-2k^2}

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