(ITA-68) Existe o triângulo ABC tal que \mathbf{a}= 10 \mathrm{~cm}, \mathrm{~b}=4 \mathrm{~cm}, \beta=30^{\circ}, onde \beta é o ângulo oposto ao lado \mathbf{b} ? Em caso afirmativo, o lado \mathbf{c} vale:
a) 8 cm .
c) 9 cm .
e) Não existe tal triângulo.
b) 7 cm .

Passo 1

O enunciado nos dá a=10\text{ cm}, b=4\text{ cm} e \beta=30^\circ. Estamos no caso SSA (dois lados e o ângulo oposto a um deles), que pode não determinar triângulo. Para verificar a existência, vamos usar a lei dos senos.

Passo 2

Pela lei dos senos,
\frac{a}{\sin A} \;=\;\frac{b}{\sin \beta} \quad\Longrightarrow\quad \sin A \;=\;\frac{a\,\sin\beta}{b}.
Substituindo a=10, b=4 e \beta=30^\circ:
\sin A = \frac{10\cdot\sin 30^\circ}{4} = \frac{10\cdot\tfrac12}{4} = \frac{5}{4} =1,25.

Passo 3

Como \sin A>1, não existe ângulo real A satisfazendo essa condição. Portanto, não há triângulo com os dados fornecidos.

Resposta

Não existe tal triângulo (alternativa e).

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