(ITA-85) Num triângulo A B C considere conhecidos os ângulos B \hat{A} C e C \hat{B} A e a medida d do lado A. Nestas condições, a área S deste triângulo é dada pela relação:
a) S=\frac{d^{2}}{2 \cdot \operatorname{sen}(B \hat{A} C+C \hat{B} A)}
b) S=\frac{d^{2}(\operatorname{sen} B \hat{A} C)(\operatorname{sen} C \hat{B} A)}{2 \cdot \operatorname{sen}(B \hat{A} C+C \hat{B} A)}
c) S=\frac{d^{2} \cdot \operatorname{sen} C \hat{B} A}{2 \cdot \operatorname{sen}(B \hat{A} C+C \hat{B} A)}
d) S=\frac{d^{2} \cdot \operatorname{sen} B \hat{A} C}{2 \cdot \cos (\hat{B} \hat{A} C+C \hat{B} A)}

Passo 1

Temos o triângulo ABC com os ângulos \alpha = B\hat AC e \beta = C\hat BA conhecidos e a medida do lado AB, que vamos chamar de d. Queremos expressar a área S em função de \alpha, \beta e d. Para isso vamos usar o Teorema dos Senos e a fórmula clássica da área
S = \tfrac12\,a\,b\,\sin C.

Passo 2

O terceiro ângulo do triângulo é
\gamma = A\hat CB = 180^\circ - (\alpha + \beta),
e portanto
\sin\gamma = \sin\bigl(180^\circ - (\alpha+\beta)\bigr) = \sin(\alpha+\beta).

Passo 3

Pelo Teorema dos Senos
\frac{a}{\sin\alpha} \;=\;\frac{b}{\sin\beta}\;=\;\frac{c}{\sin\gamma},
onde c = AB = d.
Logo
a = \frac{d\,\sin\alpha}{\sin\gamma} \quad\text{e}\quad b = \frac{d\,\sin\beta}{\sin\gamma}.

Passo 4

Usando S = \tfrac12\,a\,b\,\sin\gamma e substituindo a, b e \sin\gamma:
S = \tfrac12\;\Bigl(\frac{d\,\sin\alpha}{\sin\gamma}\Bigr)\, \Bigl(\frac{d\,\sin\beta}{\sin\gamma}\Bigr)\, \sin\gamma = \frac{d^2\,\sin\alpha\,\sin\beta}{2\,\sin\gamma} = \frac{d^2\,\sin\alpha\,\sin\beta}{2\,\sin(\alpha+\beta)}.

Resposta

b) \displaystyle S=\frac{d^{2}\,\sin(B\hat A C)\,\sin(C\hat B A)}{2\,\sin\bigl(B\hat A C+C\hat B A\bigr)}

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