(Fatec-SP) Se o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, então a medida do lado desse triângulo é um número:
a) irracional.
d) real e maior que raiz3.
b) racional.
e) real e compreendido entre raiz2 e raiz3.
c) inteiro.

Passo 1

O enunciado diz que num triângulo equilátero de lado a, altura h e área A esses três valores formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Isso significa que o quociente entre o segundo e o primeiro termo é igual ao quociente entre o terceiro e o segundo. Para resolver, vamos usar as fórmulas de altura e área de um triângulo equilátero.

Passo 2

Em qualquer triângulo equilátero de lado a temos:
h = raiz32,a
e
A = a,h2 = a^2raiz34

Passo 3

A condição de progressão geométrica impõe
ha = Ah Longrightarrow h^2 = a,A

Passo 4

Substituindo h = tfracraiz32a e A=tfraca^2raiz34 em h^2 = aA obtemos
l(raiz32ar)^2 = acdota^2raiz34 Longrightarrow 3a^24 = raiz3,a^34 Longrightarrow 3 = raiz3,a Longrightarrow a = 3raiz3 = raiz3

Passo 5

O valor a = raiz3 não pode ser expresso como fração de inteiros, portanto ele é um número irracional.

Resposta

a) irracional.

Exercícios de Livros Relacionados