(ITA-SP) Sobre os elementos da matriz
A=[ccccx1 & x2 & x3 & x4 y1 & y2 & y3 & y4 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0] in M4 times 4(R)
sabe-se que (x1, x2, x3, x4) e (y1, y2, y3, y4) são duas progressões geométricas de razão 3 e 4 e de soma 80 e 255, respectivamente. Então, det(A^-1) e o elemento (A^-1)23 valem, respectivamente:
a) 172 e 12
b) -172 e -12
c) -172 e 12
d) -172 e 112
e) 172 e 112

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= x1 & x2 & x3 & x4 y1 & y2 & y3 & y4 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0
em que (x1,x2,x3,x4) é uma progressão geométrica de razão 3 e soma 80, e (y1,y2,y3,y4) é outra de razão 4 e soma 255.
Precisamos calcular det(A^-1) e o elemento l(A^-1r)23. Para isso usaremos:
  • Fórmula da soma de P.G.: sumk=0^3ar^k = a,(r^4-1)/(r-1).
  • Cálculo de determinante 4times 4 via operações elementares e Laplace.
  • Fórmula da inversa por cofatores: (A^-1)i,j=Cj,i/det(A).

Passo 2

Primeiro achamos os termos da P.G. dos x: seja x1=a e razão r=3.
sumk=0^3a,3^k = a,3^4-13-1 = a,81-12 =40a
e isso deve valer 80. Logo 40a=80implies a=2. Assim
(x1,x2,x3,x4)=(2,6,18,54)
De modo análogo para os y: seja y1=b, razão 4,
sumk=0^3b,4^k = b,4^4-14-1 = b,256-13 =85b
e isso vale 255, então 85b=255implies b=3. Assim
(y1,y2,y3,y4)=(3,12,48,192)

Passo 3

Agora calculamos det(A). Para simplificar, trocamos a linha 1 com a linha 4 (isso inverte o sinal do determinante) e chamamos essa nova matriz de B:
B= 1 & 0 & 0 & 0 3 & 12 & 48 & 192 0 & 0 & 0 & 1 2 & 6 & 18 & 54 , det(B)=-det(A)
Expandindo det(B) pela primeira linha (só o elemento (1,1)=1 contribui):
det(B) =1cdot det 12 & 48 & 192 0 & 0 & 1 6 & 18 & 54
Chamando esse menor de M, temos
det(M) =12,(0cdot54-1cdot18) -48,(0cdot54-1cdot6) +192,(0cdot18-0cdot6) =-216+288+0 =72
Logo det(B)=72 e portanto
det(A)=-det(B)=-72

Passo 4

Daí
det(A^-1)=1det(A)=1-72=-172

Passo 5

Para achar l(A^-1r)23 usamos
(A^-1)i,j=Cj,idet(A),
onde Cj,i=(-1)^j+iMj,i é o cofator e Mj,i o determinante do menor obtido excluindo a linha j e coluna i de A. Aqui i=2, j=3, então precisamos de C3,2.
1. O menor M3,2 vem de excluir linha 3 e coluna 2 de A, sobrando a matriz
2 & 18 & 54 3 & 48 & 192 1 & 0 & 0
Calcula-se
M3,2 =2,(48cdot0-192cdot0) -18,(3cdot0-192cdot1) +54,(3cdot0-48cdot1) =0+3456-2592 =864
2. Então
C3,2=(-1)^3+2M3,2 =-1cdot864 =-864
3. Logo
(A^-1)23 =C3,2det(A) =-864-72 =12

Resposta

-tfrac172 e 12 (alternativa c)

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