(ITA-SP) Sobre os elementos da matriz
sabe-se que (x1, x2, x3, x4) e (y1, y2, y3, y4) são duas progressões geométricas de razão 3 e 4 e de soma 80 e 255, respectivamente. Então, det(A^-1) e o elemento (A^-1)23 valem, respectivamente:
a) 172 e 12
b) -172 e -12
c) -172 e 12
d) -172 e 112
e) 172 e 112
em que (x1,x2,x3,x4) é uma progressão geométrica de razão 3 e soma 80, e (y1,y2,y3,y4) é outra de razão 4 e soma 255.
Precisamos calcular det(A^-1) e o elemento l(A^-1r)23. Para isso usaremos:
Fórmula da soma de P.G.: sumk=0^3ar^k = a,(r^4-1)/(r-1).
Cálculo de determinante 4times 4 via operações elementares e Laplace.
Fórmula da inversa por cofatores: (A^-1)i,j=Cj,i/det(A).
Passo 2
Primeiro achamos os termos da P.G. dos x: seja x1=a e razão r=3.
sumk=0^3a,3^k = a,3^4-13-1 = a,81-12 =40a
e isso deve valer 80. Logo 40a=80implies a=2. Assim
(x1,x2,x3,x4)=(2,6,18,54)
De modo análogo para os y: seja y1=b, razão 4,
sumk=0^3b,4^k = b,4^4-14-1 = b,256-13 =85b
e isso vale 255, então 85b=255implies b=3. Assim
(y1,y2,y3,y4)=(3,12,48,192)
Passo 3
Agora calculamos det(A). Para simplificar, trocamos a linha 1 com a linha 4 (isso inverte o sinal do determinante) e chamamos essa nova matriz de B:
onde Cj,i=(-1)^j+iMj,i é o cofator e Mj,i o determinante do menor obtido excluindo a linha j e coluna i de A. Aqui i=2, j=3, então precisamos de C3,2. 1. O menor M3,2 vem de excluir linha 3 e coluna 2 de A, sobrando a matriz
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 215