(Fatec-SP) Seja o número complexo z=cos alpha+i cdot sen alpha, em que i é a unidade imaginária. Se z^4i é um número real e alpha in] pi4 ; pi2[, então alpha é:
a) 4 pi15
b) pi3
c) 3 pi8
d) 2 pi5

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z = cosalpha + isenalpha
e pede os valores de alphainl]tfracpi4,tfracpi2r[ tais que tfracz^4i seja real. Vamos usar a forma exponencial de z e a condição para um número complexo ser real.

Passo 2

Escrevendo z em forma exponencial, temos
z = e^ialpha
pela identidade de Euler. Logo
z^4 = l(e^ialphar)^4 = e^i4alpha

Passo 3

Para dividir por , observe que . Assim,
Expandindo em cosseno e seno,

Passo 4

Para que tfracz^4i seja real, sua parte imaginária deve ser zero, ou seja,
-cos4alpha = 0 Longrightarrow cos4alpha = 0
As soluções gerais de cos4alpha=0 são
4alpha = pi2 + kpi,
portanto
alpha = pi8 + k,pi4, kinZ
Queremos alphainl]tfracpi4,tfracpi2r[. Testando valores inteiros de k:
  • Para k=0: alpha=tfracpi8approx22,5^circ (menor que tfracpi4).
  • Para k=1: alpha=tfracpi8+tfracpi4=tfrac3pi8approx67,5^circ (está no intervalo).
  • Para k>=2 ou k<0: alpha sai do intervalo dado.
Logo, a única solução no intervalo é
alpha = 3pi8

Resposta

(c) 3pi8

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