Se para todo
, então, para todo
,
é igual a:
a) 1
b)
2 z
c)
2 Re z
d) 2 Im z
e)
2|z|^2
a) 1
b)
c)
d) 2 Im z
e)
Passo 1
O enunciado diz que
fcolonCtoC satisfaz
para todo
zinC , e pede o valor de
O conteúdo envolve classificac~{a}~{c}~{a}o de isometrias no plano complexo que preservam dist^ancias.
Passo 2
Da primeira condição com
z=0 vem
|f(0)|=0 , logo
f(0)=0 . Uma aplicação que preserva módulos e envia
0 em
0 é obrigatoriamente da forma
com
|a|=1 .
Passo 3
Para usar também a segunda condição, defina
Então
g(0)=0 e
g(1)=1 . Além disso vale
|g(z)|=|z| e
Logo
g é uma isometria que fixa
0 e
1 .
Passo 4
As únicas isometrias que fixam
0 e
1 são
Daí
com
|f(1)|=1 .
Passo 5
Vamos calcular
Se
f(z)=f(1),z , então
Se
f(z)=f(1),z , obtemos o mesmo resultado
Resposta
c)
2Re(z)