Se para todo z in C,|f(z)|=|z| e|f(z)-f(1)|=|z-1|, então, para todo z in C, f(1) f(z)+f(1) f(z) é igual a:
a) 1
b) 2 z
c) 2 Re z
d) 2 Im z
e) 2|z|^2

Passo 1

O enunciado diz que fcolonCtoC satisfaz
|f(z)|=|z|e|f(z)-f(1)|=|z-1|
para todo zinC, e pede o valor de
f(1),f(z)+f(1),f(z)
O conteúdo envolve classificac~{a}~{c}~{a}o de isometrias no plano complexo que preservam dist^ancias.

Passo 2

Da primeira condição com z=0 vem |f(0)|=0, logo f(0)=0. Uma aplicação que preserva módulos e envia 0 em 0 é obrigatoriamente da forma
f(z)=a,zou f(z)=a,z,
com |a|=1.

Passo 3

Para usar também a segunda condição, defina
g(z)=f(z),f(1)
Então g(0)=0 e g(1)=1. Além disso vale |g(z)|=|z| e
|g(z)-1|=|f(1)|;|f(z)-f(1)|=|z-1|
Logo g é uma isometria que fixa 0 e 1.

Passo 4

As únicas isometrias que fixam 0 e 1 são
g(z)=z ou g(z)=z
Daí
f(z)=g(z),f(1)=f(1),z ou f(z)=f(1),z,
com |f(1)|=1.

Passo 5

Vamos calcular
f(1),f(z)+f(1),f(z)
Se f(z)=f(1),z, então
f(1),f(1),z + f(1),f(1),z =|f(1)|^2,z + |f(1)|^2,z =z+z =2Re(z)
Se f(z)=f(1),z, obtemos o mesmo resultado
f(1),f(1),z + f(1),f(1),overlinez =z+z =2Re(z)

Resposta

c) 2Re(z)

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