(ITA-SP) Se a=cos pi5 e b=sen pi5, então o número complexo (cos pi5+ isen pi5)^54 é igual a:
a) a+b i
b) -a+b i
c) (1-2 a^2 b^2)+a b(1+b^2) i
d) a-b i

Passo 1

O enunciado define
a=cospi5, b=sinpi5
e pede o valor de
l(cospi5+isinpi5r)^54
Vamos usar o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Pelo Teorema de De Moivre, para theta=pi5 e z=costheta+isintheta vale
z^54=cos(54theta)+isin(54theta)

Passo 3

Calculamos o ângulo:
54theta = 54cdotpi5 = 54pi5 = 10pi + 4pi5
Como 10pi=5cdot2pi é múltiplo de 2pi, sobram 4pi5.

Passo 4

Logo
z^54=cos!l(tfrac4pi5r)+isin!l(tfrac4pi5r)

Passo 5

Usando identidades:
cosl(tfrac4pi5r)=cosl(pi-tfracpi5r)=-cos!tfracpi5=-a,
sinl(tfrac4pi5r)=sinl(pi-tfracpi5r)=sin!tfracpi5=b
Portanto
z^54=-a+i,b

Resposta

b) -a+b,i

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