Fatoração completa de uma função polinomial
Sabendo que
é um zero de
encontre os demais zeros da função e a escreva na forma fatorada.
Solução
Como os coeficientes da função são reais, o conjugado de
também é um zero, de modo que podemos definir
Usando, então, o teorema do fator, temos
em que
é uma função polinomial de grau 2. Para encontrar essa função, escrevemos
Efetuando a divisão de polinômios, obtemos:
Sabendo que
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e informa que
é raiz. O conteúdo aqui é fatoração de polinômios e uso do fato de que, se os coeficientes são reais, raízes complexas aparecem em conjugados.
Passo 2
Como
tem coeficientes reais, o conjugado de
também é raiz. Logo definimos
e obtemos o fator quadrático correspondente
Passo 3
Para encontrar o co-fator de grau 2, dividimos
Observando que
concluímos que
Passo 4
Agora fatoramos
. Como o discriminante é
temos raiz dupla
de modo que
Resposta
As raízes de
são
e a fatoração completa é