Fatoração completa de uma função polinomial
Sabendo que x1=1+2 i é um zero de
p(x)=x^4+6 x^3+5 x^2+8 x+80
encontre os demais zeros da função e a escreva na forma fatorada.

Solução

Como os coeficientes da função são reais, o conjugado de x1=1+2 i também é um zero, de modo que podemos definir
x2=1-2 i
Usando, então, o teorema do fator, temos
p(x)=(x-1-2 i)(x-1+2 i) p2(x)
em que p2(x) é uma função polinomial de grau 2. Para encontrar essa função, escrevemos
p2(x)=p(x)(x-1-2 i)(x-1+2 i)=x^4+6 x^3+5 x^2+8 x+80x^2-2 x+5
Efetuando a divisão de polinômios, obtemos:
c|c x^4+6 x^3+5 x^2+8 x+80-x^4+2 x^3-5 x^2 & x^2-2 x+5x^2+8 x+16 8 x^3+0 x^2+8 x+80-8 x^3+16 x^2-40 x & 16 x^2-32 x+80-16 x^2+32 x-80 &

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^4+6x^3+5x^2+8x+80
e informa que ,x1=1+2i é raiz. O conteúdo aqui é fatoração de polinômios e uso do fato de que, se os coeficientes são reais, raízes complexas aparecem em conjugados.

Passo 2

Como p(x) tem coeficientes reais, o conjugado de x1 também é raiz. Logo definimos
x2=1-2i
e obtemos o fator quadrático correspondente
(x - x1)(x - x2) = (x - (1+2i))(x - (1-2i)) = x^2 - 2x + 5

Passo 3

Para encontrar o co-fator de grau 2, dividimos
p2(x)=p(x)x^2-2x+5
Observando que
(x^2-2x+5)(x^2+8x+16) = x^4+6x^3+5x^2+8x+80,
concluímos que
p2(x)=x^2+8x+16

Passo 4

Agora fatoramos p2(x). Como o discriminante é
De<a = 8^2 - 4cdot1cdot16 = 64 - 64 = 0,
temos raiz dupla
x3=x4 = -82 = -4,
de modo que
x^2+8x+16 = (x+4)^2

Resposta

As raízes de p(x) são
x1=1+2i, x2=1-2i, x3=x4=-4
e a fatoração completa é
boxedp(x)=(x - (1+2i)),(x - (1-2i)),(x+4)^2 ;=;(x^2-2x+5),(x+4)^2

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