Problema 4. Zeros conjugados
Escreva uma função polinomial de quarto grau, com coeficientes reais, que tenha como zeros
Solução
Como os coeficientes da função devem ser reais, concluímos que os zeros complexos aparecerão em pares conjugados. Assim, se
é um desses zeros, devemos ter
. Logo, a função terá a forma
Escolhendo
por simplicidade, obtemos
Passo 1
O enunciado pede um polinômio real de quarto grau cujas raízes são
Como o polinômio tem coeficientes reais, vamos usar o fato de que raízes complexas surgem em pares conjugados.
Passo 2
Pela conjugação, se
é raiz, então
também é raiz. Assim as quatro raízes são
Passo 3
O polinômio monico (com
) pode ser escrito em forma fatorada como
Passo 4
Multiplicamos primeiro os fatores complexos conjugados:
Passo 5
Então
Expandindo
, obtemos
Passo 6
Agora fazemos a multiplicação:
Somando os resultados: