Problema 4. Zeros conjugados

Escreva uma função polinomial de quarto grau, com coeficientes reais, que tenha como zeros
x1=1, x2=-6, e x3=4-5 i

Solução

Como os coeficientes da função devem ser reais, concluímos que os zeros complexos aparecerão em pares conjugados. Assim, se x3=4-5 i é um desses zeros, devemos ter x4=4+5 i. Logo, a função terá a forma
p(x)=a(x-1)(x+6)(x-4+5 i)(x-4-5 i)
Escolhendo a=1 por simplicidade, obtemos
p(x)=(x-1)(x+6)(x-4+5 i)(x-4-5 i)

Passo 1

O enunciado pede um polinômio real de quarto grau cujas raízes são
x1=1, x2=-6, x3=4-5i
Como o polinômio tem coeficientes reais, vamos usar o fato de que raízes complexas surgem em pares conjugados.

Passo 2

Pela conjugação, se ,4-5i é raiz, então ,4+5i também é raiz. Assim as quatro raízes são
1, -6, 4-5i, 4+5i

Passo 3

O polinômio monico (com a=1) pode ser escrito em forma fatorada como
p(x)=(x-1),(x+6),(x-(4-5i)),(x-(4+5i))

Passo 4

Multiplicamos primeiro os fatores complexos conjugados:
(x-(4-5i))(x-(4+5i)) =(x-4+5i)(x-4-5i) =(x-4)^2+(5)^2 =x^2-8x+16+25 =x^2-8x+41

Passo 5

Então
p(x)=(x-1)(x+6)l(x^2-8x+41r)
Expandindo (x-1)(x+6)=x^2+5x-6, obtemos
p(x)=(x^2+5x-6)(x^2-8x+41)

Passo 6

Agora fazemos a multiplicação:
x^2cdot(x^2-8x+41)=x^4-8x^3+41x^2,
5xcdot(x^2-8x+41)=5x^3-40x^2+205x,
-6cdot(x^2-8x+41)=-6x^2+48x-246
Somando os resultados:
p(x)=x^4+(-8+5)x^3+(41-40-6)x^2+(205+48)x+(-246),
p(x)=x^4-3x^3-5x^2+253x-246

Resposta

p(x)=x^4-3x^3-5x^2+253x-246

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