Problema 3. Escrevendo um polinômio a partir de seus zeros

Uma função polinomial p tem como zeros x=3 (com multiplicidade 2), x=2 i e x=-2 i. Escreva a expressão de p, sabendo que p(0)=144.

Solução

Segundo o teorema da decomposição, a função pode ser escrita na forma
p(x)=a(x-3)^2(x-2 i)(x+2 i)
Sendo assim, temos
p(0) & =a(0-3)^2(0-2 i)(0+2 i) & & Substituindo x por 0 & =a(-3)^2(-2 i)(2 i) & & Simplificando os termos entre parênteses & =a cdot 9 cdot(-4 i^2) & & Calculando a potência e o produto & =a cdot 9 cdot 4 & & Usando o fato de que i^2=-1 & =36 a & & Simplificando o resu<ado êê
Como sabemos que p(0)=144, concluímos que
36 a=144 Rightarrow a=14436=4
Logo,
p(x)=4(x-3)^2(x-2 i)(x+2 i)

Passo 1

O enunciado pede um polinômio p que tem zeros em x=3 (multiplicidade 2) e em x=2i, x=-2i, e satisfaz p(0)=144. O conteúdo usado será o teorema da fatoração de polinômios (cada zero gera um fator (x-zero)) e o ajuste da constante multiplicativa a via a condição p(0)=144.

Passo 2

Pela fatoração, escrevemos
p(x)=a,(x-3)^2(x-2i)(x+2i)
em que a é uma constante real desconhecida a ser determinada usando p(0)=144.

Passo 3

Calculamos p(0):
p(0)=a,(0-3)^2(0-2i)(0+2i) =acdot(-3)^2cdot(-2i)cdot(2i)
Agora simplificamos: (-3)^2=9 e
(-2i),(2i)=-4,i^2=-4cdot(-1)=4
Logo,
p(0)=acdot9cdot4=36a

Passo 4

Como p(0)=144, igualamos
36a=144
e obtemos
a=14436=4

Passo 5

Substituindo a=4 na fatoração inicial, ficamos com
p(x)=4,(x-3)^2(x-2i)(x+2i)

Resposta

p(x)=4,(x-3)^2(x-2i)(x+2i)

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