Problema 3. Escrevendo um polinômio a partir de seus zeros
Uma função polinomial
tem como zeros
(com multiplicidade 2),
e
. Escreva a expressão de
, sabendo que
.
Solução
Segundo o teorema da decomposição, a função pode ser escrita na forma
Sendo assim, temos
Como sabemos que
, concluímos que
Logo,
Passo 1
O enunciado pede um polinômio
que tem zeros em
(multiplicidade 2) e em
,
, e satisfaz
. O conteúdo usado será o teorema da fatoração de polinômios (cada zero gera um fator
) e o ajuste da constante multiplicativa
via a condição
.
Passo 2
Pela fatoração, escrevemos
em que
é uma constante real desconhecida a ser determinada usando
.
Passo 3
Calculamos
:
Agora simplificamos:
e
Logo,
Passo 4
Como
, igualamos
e obtemos
Passo 5
Substituindo
na fatoração inicial, ficamos com