Multiplicidade dos zeros de uma função
A função polinomial p(x)=4 x^7+44 x^6+73 x^5-508 x^4-1.070 x^3+1.400 x^2- 375 x pode ser escrita na forma fatorada
p(x)=4 x(x-3)(x-12)^2(x+5)^3
Determine os zeros da função e suas multiplicidades.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
p(x)=4,x,(x-3)l(x-tfrac12r)^2(x+5)^3
e pede os zeros e suas multiplicidades.
Conteúdo: quando um polinômio está escrito em forma fatorada, cada fator (x-r)^m indica que r é raiz de multiplicidade m.

Passo 2

Para encontrar os zeros, resolvemos p(x)=0. Como o produto é zero se e só se algum fator é zero, temos as equações:
x=0, x-3=0, x-tfrac12=0, x+5=0
Logo, os zeros são
x=0, x=3, x=tfrac12, x=-5

Passo 3

A multiplicidade de cada zero é o expoente do fator correspondente:
– o fator x aparece com expoente 1, logo x=0 tem multiplicidade 1.
– o fator (x-3) aparece com expoente 1, logo x=3 tem multiplicidade 1.
– o fator l(x-tfrac12r) aparece com expoente 2, logo x=tfrac12 tem multiplicidade 2.
– o fator (x+5) aparece com expoente 3, logo x=-5 tem multiplicidade 3.

Resposta

x=0, multiplicidade 1
x=3, multiplicidade 1
x=tfrac12, multiplicidade 2
x=-5, multiplicidade 3

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