Fatore as expressões dadas.
i) 25-x^8

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
25 - x^8
Isso envolve polinômios e vamos usar o fato de que todo “quadrado menos quadrado” pode ser escrito como diferença de quadrados.

Passo 2

Note que
25 = 5^2 e x^8 = l(x^4r)^2
Logo temos uma diferença de quadrados da forma a^2 - b^2, com a = 5 e b = x^4. A fórmula é
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Aplicando aqui,
25 - x^8 = (5 - x^4),(5 + x^4)

Passo 3

Podemos verificar se algum desses fatores ainda é fatorável sobre os reais. Por exemplo,
5 - x^4 = (raiz5)^2 - (x^2)^2
é outra diferença de quadrados. Aplicando de novo,
5 - x^4 = (raiz5 - x^2),(raiz5 + x^2)
5 + x^4 é soma de quadrados e não se fatora em polinômios com coeficientes reais racionais.

Resposta

25 - x^8 = (5 - x^4),(5 + x^4) = (raiz5 - x^2),(raiz5 + x^2),(5 + x^4)

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