Fatore o polinômio usando coeficientes inteiros.
3 x^{2}-22 x+35

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio \,3x^{2}-22x+35 usando coeficientes inteiros. Aqui vamos usar a técnica de fatoração de quadráticas: calculamos o discriminante para achar as raízes e, em seguida, escrevemos o polinômio como produto de fatores lineares.

Passo 2

Calculamos o discriminante \Delta da forma geral \,ax^{2}+bx+c, em que a=3, b=-22 e c=35:
\Delta = b^{2} - 4ac = (-22)^{2} - 4\cdot3\cdot35 = 484 - 420 = 64.
Como \Delta=64 é um quadrado perfeito ( 8^{2}), as raízes serão racionais.

Passo 3

Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-22)\pm8}{2\cdot3} = \frac{22\pm8}{6}.
Isso dá duas raízes:
x_{1} = \frac{22+8}{6} = \frac{30}{6} = 5, \quad x_{2} = \frac{22-8}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}.

Passo 4

Como as raízes são x=5 e x=\tfrac{7}{3}, os fatores lineares (com coeficientes inteiros) são (x-5) e (3x-7). Portanto,
3x^{2}-22x+35 = (x-5)(3x-7).

Resposta

(x-5)(3x-7)

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