Simplifique a expressão racional.
\frac{\frac{1}{x}-2+\frac{x}{x+1}}{\frac{3 x-1}{x^{2}+x}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional
\frac{\frac{1}{x}-2+\frac{x}{x+1}}{\frac{3x-1}{x^2+x}}.
O conteúdo envolvido é soma de frações algébricas e simplificação de fração complexa. Vamos combinar as frações do numerador, depois dividir pela fração do denominador (multiplicando pelo inverso) e cancelar fatores comuns.

Passo 2

Simplificamos o numerador \frac{1}{x}-2+\frac{x}{x+1}. Primeiro reescrevemos
-2 = -\frac{2x}{x},
ficando
\frac{1}{x}-2 = \frac{1-2x}{x}.
Agora somamos \frac{1-2x}{x} e \frac{x}{x+1} com denominador comum x(x+1):
\frac{1-2x}{x} + \frac{x}{x+1} = \frac{(1-2x)(x+1) + x^2}{x(x+1)}.
Calculando o numerador:
(1-2x)(x+1) = -2x^2 - x + 1, \quad -2x^2 - x +1 + x^2 = -x^2 - x +1.
Logo o numerador simplificado é
\frac{-x^2 - x +1}{x(x+1)}.

Passo 3

A expressão torna-se
\frac{\frac{-x^2 - x +1}{x(x+1)}}{\frac{3x-1}{x^2+x}} \quad\text{com }x^2+x = x(x+1).
Dividir por \frac{3x-1}{x(x+1)} equivale a multiplicar por \frac{x(x+1)}{3x-1}, cancelando x(x+1):
\frac{-x^2 - x +1}{x(x+1)} \times \frac{x(x+1)}{3x-1} = \frac{-(x^2 + x -1)}{3x-1}.

Resposta

-\frac{x^2 + x - 1}{3x - 1}.

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