Faz-se uma rotação dos eixos de ângulo
.
(a) Encontre as equações de (
) em função de (
) e de (
) em função de
.
(b) Ache as novas coordenadas dos pontos cujas coordenadas antigas são
,
e
.
(c) Ache a nova equação para cada uma das curvas
,
.
(a) Encontre as equações de (
(b) Ache as novas coordenadas dos pontos cujas coordenadas antigas são
(c) Ache a nova equação para cada uma das curvas
Passo 1
O enunciado trata de uma rotação de eixos no plano de ângulo
. Vamos usar a teoria de transformação de coordenadas por rotação: conhecendo as fórmulas gerais em função de
e
, podemos expressar
em função de
e vice-versa; depois aplicamos essas mesmas fórmulas para transformar pontos e para reescrever equações de curvas.
Passo 2
As fórmulas gerais para rotação de ângulo
são
e invertendo,
Aqui
e
. Logo
Passo 3
Usamos as fórmulas
e
para cada ponto:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Reescrevemos cada curva substituindo
e
pelas expressões em
.
Para
:
Para
: pela invariância de distância na rotação,
Para
:
ou, multiplicando por 4,
Resposta
(a)
(b)
(c)
fica
.
fica
.
fica
(ou
).