Faz-se uma rotação dos eixos de ângulo pi / 3.
(a) Encontre as equações de ( x, y ) em função de ( x^prime, y^prime ) e de ( x^prime, y^prime ) em função de (x, y).
(b) Ache as novas coordenadas dos pontos cujas coordenadas antigas são (1,0),(0,1), (1,1) e (-3,2).
(c) Ache a nova equação para cada uma das curvas y-raiz3 x=0, x^2+y^2=1, x y=1.

Passo 1

O enunciado trata de uma rotação de eixos no plano de ângulo theta = pi/3. Vamos usar a teoria de transformação de coordenadas por rotação: conhecendo as fórmulas gerais em função de costheta e sintheta, podemos expressar (x,y) em função de (x',y') e vice-versa; depois aplicamos essas mesmas fórmulas para transformar pontos e para reescrever equações de curvas.

Passo 2

As fórmulas gerais para rotação de ângulo theta são
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta
e invertendo,
x' = xcostheta + ysintheta, y' = -xsintheta + ycostheta
Aqui cos(pi/3)=tfrac12 e sin(pi/3)=tfracraiz32. Logo
x = 12,x' - raiz32,y', y = raiz32,x' + 12,y',
x' = 12,x + raiz32,y, y' = -raiz32,x + 12,y

Passo 3

Usamos as fórmulas x'=tfrac12x+tfracraiz32y e y'=-tfracraiz32x+tfrac12y para cada ponto:
Para (1,0):
x' = 12cdot1 + raiz32cdot0 = 12, y' = -raiz32cdot1 + 12cdot0 = -raiz32
Para (0,1):
x' = 12cdot0 + raiz32cdot1 = raiz32, y' = -raiz32cdot0 + 12cdot1 = 12
Para (1,1):
x' = 12 + raiz32 = 1+raiz32, y' = -raiz32 + 12 = 1-raiz32
Para (-3,2):
x' = 12cdot(-3) + raiz32cdot2 = -32 + raiz3, y' = -raiz32cdot(-3) + 12cdot2 = 3raiz32 + 1

Passo 4

Reescrevemos cada curva substituindo x e y pelas expressões em x',y'.
Para y - raiz3,x = 0:
l(tfracraiz32x' + tfrac12y'r) - raiz3l(tfrac12x' - tfracraiz32y'r) =0 ;Longrightarrow; 2,y'=0 ;Longrightarrow; y'=0
Para x^2+y^2=1: pela invariância de distância na rotação,
x^2+y^2 = x'^2+y'^2 = 1
Para x,y = 1:
l(tfrac12x' - tfracraiz32y'r) l(tfracraiz32x' + tfrac12y'r) =1 ;Longrightarrow; raiz34,x'^2 - 12,x'y' - raiz34,y'^2 = 1,
ou, multiplicando por 4,
raiz3,x'^2 - 2,x'y' - raiz3,y'^2 = 4

Resposta

(a)
x = 12x' - raiz32y', y = raiz32x' + 12y', x' = 12x + raiz32y, y' = -raiz32x + 12y
(b)
(1,0)tol(tfrac12,,-tfracraiz32r),
(0,1)tol(tfracraiz32,,tfrac12r),
(1,1)tol(tfrac1+raiz32,,tfrac1-raiz32r),
(-3,2)tol(raiz3-tfrac32,;tfrac3raiz32+1r)
(c)
y-raiz3x=0 fica y'=0.
x^2+y^2=1 fica x'^2+y'^2=1.
xy=1 fica tfracraiz34x'^2 - tfrac12x'y' - tfracraiz34y'^2 =1 (ou raiz3x'^2-2x'y'-raiz3y'^2=4).

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