Fazendo a mudança de variável w=x^2, determine os zeros das funções dadas e as escreva na forma fatorada.
p(x)=x^4-24 x^2-25

Passo 1

O enunciado pede para determinar os zeros de
p(x)=x^4-24x^2-25
fazendo a mudança de variável w=x^2, e em seguida escrever p(x) na forma fatorada. O conteúdo é resolução de equação quadrática em w e volta a x.

Passo 2

Com w=x^2, reescrevemos
p(x)=x^4-24x^2-25
como
q(w)=w^2-24w-25

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
w^2-24w-25=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
w=24pmraiz24^2-4cdot1cdot(-25)2 =24pmraiz576+1002 =24pmraiz6762 =24pm262
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w1=25, w2=-1

Passo 4

Voltando a x, temos as duas equações
x^2=25 e x^2=-1
Da primeira vêm
;x=pm5,
e da segunda, no conjunto dos complexos, vêm
;x=pm i.

Passo 5

Como os zeros são x=5,,-5,,i,,-i, a fatoração em fatores lineares é
p(x)=(x-5)(x+5)(x-i)(x+i)
Agrupando em quadráticos reais, fica também
p(x)=(x^2-25)(x^2+1)

Resposta

Os zeros são pm5 e pm i, e
p(x)=(x-5)(x+5)(x-i)(x+i) =(x^2-25)(x^2+1)

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