Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
x^4-6 x^3+25 x^2-150 x=0, sabendo que x=6 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede as raízes de
x^4 -6x^3 +25x^2 -150x = 0
sabendo que x=6 é raiz. Vamos usar o Teorema do Resto (se x=a é raiz, então x-a é fator) e, em seguida, fatorar o polinômio resultante.

Passo 2

Como x=6 é raiz, x-6 é fator de x^4 -6x^3 +25x^2 -150x. Logo, dividindo ou fatorando diretamente, obtemos
x^4 -6x^3 +25x^2 -150x = (x-6)(x^3 +25x)

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio cúbico x^3 +25x extraindo o fator comum x:
x^3 +25x = x(x^2 +25)

Passo 4

Reunindo tudo, a fatoração completa do lado esquerdo da equação é
x(x-6)(x^2+25)=0
Dessa forma, as raízes são dadas por
x=0, x=6, x^2+25=0implies x=pm 5i

Resposta

A forma fatorada é
x(x-6)(x^2+25)=0,
e as raízes são
x=0, x=6, x=5i, x=-5i

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