(FEI-2000) Sabendo-se que um determinado valor inteiro k é um múltiplo de 3 e que a metade
desse valor k é um número inteiro par, é certo afirmar-se que:
a) a metade de k é um múltiplo de 5 .
b) o quadrado de k é um múltiplo de 18 .
c) o quadrado de k é um múltiplo de 10 .
d) a metade de k é um múltiplo de 9 .
e) a metade de k é um múltiplo de 4 .

Passo 1

O enunciado diz que k é inteiro múltiplo de 3 (ou seja, 3mid k) e que a metade de k, isto é, k/2, é um número inteiro par. Vamos usar as ideias de divisibilidade e paridade para modelar k em função de um parâmetro inteiro, e depois testar cada alternativa.

Passo 2

Como k/2 é inteiro, concluímos que k é par. Escrevemos
k = 2m,
com minZ. Além disso, k/2 = m é par, então existe ninZ tal que
m = 2n
Logo
k = 2m = 2,(2n) = 4n

Passo 3

Também sabemos que 3mid k. Como k=4n e gcd(3,4)=1, a divisibilidade passa para n, ou seja, 3mid n. Escrevemos então n=3p com pinZ. Substituindo,
k = 4n = 4,(3p) = 12p

Passo 4

Agora avaliamos cada afirmação em termos de p:
a) Metade de k é k/2 = 6p. Para ser múltiplo de 5, precisaríamos 5 mid 6p, o que nem sempre ocorre (depende de p). Logo, não é certo.
b) O quadrado de k é
k^2 = (12p)^2 = 144,p^2
Como 144 = 18 times 8, temos 18 mid 144, logo 18 mid k^2. Essa condição vale para todo p. Portanto, é certa.
c) Para ser múltiplo de 10 precisaríamos 10 mid 144,p^2. Mas 144/10 = 14,4 não é inteiro, então não é garantido.
d) Metade de k é 6p. Para ser múltiplo de 9, precisaríamos 9 mid 6p, i.e. 32 mid p, o que não vale para todo p. Logo, não é certo.
e) Metade de k é 6p. Para ser múltiplo de 4, precisaríamos 4 mid 6p, i.e. 32 mid p, também não garantido.

Resposta

b) o quadrado de k é um múltiplo de 18.

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