(FEI-SP) Considere os pontos A(3,4) e B(-1,6) dados em relação ao sistema cartesiano ortogonal xOy. A equação da circunferência com centro no ponto médio do segmento A B e raio 2 é:
a) (x+1)^2+(y+5)^2=2
b) (x+1)^2+(y+5)^4=4
c) x^2+y^2-2 x-10 y+22=0
d) x^2+y^2-2 x-10 y+24=0
e) (x-1)^2+(y-5)^2=2

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A(3,4) e B(-1,6), e pede a circunferência de centro no ponto médio de AB e raio 2. O conteúdo envolve cálculo de ponto médio e equação da circunferência no plano.

Passo 2

Calculamos o ponto médio M de AB pela fórmula
Ml(tfracxA+xB2,,tfracyA+yB2r)
Substituindo xA=3, xB=-1, yA=4, yB=6, obtemos
Ml(tfrac3+(-1)2,,tfrac4+62r)=M(1,5)

Passo 3

Com centro M(1,5) e raio R=2, a forma padrão é
(x-x0)^2+(y-y0)^2=R^2
Logo,
(x-1)^2+(y-5)^2=4

Passo 4

Expandindo a forma padrão para comparar com as opções:
(x-1)^2+(y-5)^2 = x^2-2x+1 + y^2-10y+25 = x^2+y^2-2x-10y+26
Igualando a 4 e passando tudo para um lado,
x^2+y^2-2x-10y+26-4=0 Longrightarrow x^2+y^2-2x-10y+22=0,
que corresponde à alternativa (c).

Resposta

c)

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