(UF-BA) No plano cartesiano, considere a reta r que passa pelos pontos P(24,0) e Q(0,18) e a reta s, perpendicular a r, que passa pelo ponto médio de P e Q .
Assim sendo, determine a hipotenusa do triângulo cujos vértices são o ponto Q e os pontos de interseção da reta s com a reta r e com o eixo Oy.

Passo 1

O enunciado dá os pontos P(24,0) e Q(0,18), pede a reta r que passa por eles, o ponto médio M de PQ, e a reta sperp r passando por M. Depois formamos um triângulo com vértice em Q, no ponto A=rcap s e no ponto B=scap Oy, e precisamos da hipotenusa desse triângulo. Vamos usar cálculo de coeficiente angular, equações de reta, interseções e distância entre pontos.

Passo 2

Calculamos o coeficiente angular de r:
mr = 18 - 00 - 24 = -34
Logo uma forma de r é
y - 0 = -34(x - 24) Longrightarrow y = -34x + 18

Passo 3

O ponto médio M de P(24,0) e Q(0,18) é
Ml(24+02,0+182r) = (12,9)

Passo 4

A reta s é perpendicular a r, então seu coeficiente angular é
ms = -1mr = 43
Passando por M(12,9), sua equação em forma ponto- declive é
y - 9 = 43(x - 12) Longrightarrow y = 43x - 7

Passo 5

Interseção A = rcap s: igualamos
-tfrac34x + 18 ;=;tfrac43x - 7 Longrightarrow x = 12,;y = 9,
logo A=(12,9) (que é justamente M).
Interseção B = scap Oy: em Oy temos x=0, então
y = 43cdot0 - 7 = -7,
logo B=(0,-7).

Passo 6

No triângulo QAB, vetores
QA=(12,-9) e BA=(-12,-16) têm produto escalar
12cdot(-12)+(-9)cdot(-16)= -144+144=0,
logo o ângulo em A é reto. A hipotenusa é o lado oposto a esse ângulo, ou seja QB.

Passo 7

O comprimento de QB é
QB = raiz(0-0)^2 + l(18 - (-7)r)^2 = raiz25^2 = 25

Resposta

25

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