(UFF-RJ) A Segunda Guerra Mundial motivou o estudo de vários problemas logísticos relacionados com o transporte e a distribuição de recursos. Muitos destes problemas podem ser modelados como um programa linear. Como um exemplo de programa linear, considere o problema de encontrar o par ordenado ( x, y ) que satisfaz simultaneamente as condições
-2 x+y >= 0, x >= 0, x-y >=-2,
e cuja soma das coordenadas x+y é máxima.
Se ( x0, y0 ) é a solução deste programa linear, é correto afirmar que:
a) x0+y0=7
b) x0+y0=6
c) x0+y0=8
d) x0+y0=2
e) x0+y0=0

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a soma das variáveis
z = x + y
sujeito às restrições de um programa linear:
-2x + y >= 0, x >= 0, x - y >= -2
O conteúdo é programação linear em duas variáveis; vamos determinar graficamente a região viável e verificar nos vértices onde z atinge o valor máximo.

Passo 2

Reescrevendo cada desigualdade em forma de limite de y:
-2x + y >= 0 ;Longrightarrow; y >= 2x,
x - y >= -2 ;Longrightarrow; y <= x + 2,
e ainda x >= 0. Essas três condições definem um polígono convexo cujos vértices são as interseções das retas
y=2x, y=x+2 e x=0. Calculamos:
1 x=0 e y=2x Rightarrow (0,0).
2 x=0 e y=x+2 Rightarrow (0,2).
3 y=2x e y=x+2 Rightarrow
2x = x+2 ;Longrightarrow; x=2, y=4,
i.e. (2,4).

Passo 3

Avaliamo z = x+y em cada vértice:
z(0,0) = 0+0 = 0,
z(0,2) = 0+2 = 2,
z(2,4) = 2+4 = 6
O valor máximo de z ocorre em (2,4) e vale 6.

Resposta

b) x0+y0=6

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