(FEI-SP) Uma instituição de ensino possui um conselho formado por 10 membros, sendo 35 professores e os demais estudantes. Quantas comissões compostas de exatamente 4 membros podem ser formadas contendo no máximo 3 professores?
a) 194
b) 80
c) 195
d) 85
e) 210

Passo 1

O enunciado diz que há um conselho de 10 membros, dos quais tfrac35 são professores e os demais estudantes. Precisamos formar comissões de exatamente 4 membros com no máximo 3 professores. O conteúdo usado é contagem por combinações simples.

Passo 2

Calcular quantos professores e quantos estudantes há no total:
nº de professores = tfrac35times 10 = 6, º
nº de estudantes = 10 - 6 = 4 º

Passo 3

Para garantir “no máximo 3 professores” contamos todas as comissões com k professores, onde k=0,1,2,3. Para cada k,
binom6k
escolhe os professores e
binom44-k
escolhe os estudantes, totalizando
sumk=0^3binom6k,binom44-k

Passo 4

Calcular termo a termo:
k=0: & binom60binom44 = 1cdot 1 = 1, k=1: & binom61binom43 = 6cdot 4 = 24, k=2: & binom62binom42 = 15cdot 6 = 90, k=3: & binom63binom41 = 20cdot 4 = 80
Somando, obtemos
1 + 24 + 90 + 80 = 195

Resposta

195

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