(UF-PE) Diversos casais participam de uma recepção. Se cada participante cumprimenta os demais, com exceção dele(a) mesmo(a) e seu(sua) companheiro(a), e ocorreram 180 cumprimentos, quantos eram os casais presentes na recepção?
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6

Passo 1

O enunciado diz que há n casais (logo 2n pessoas) numa recepção e que cada pessoa cumprimenta todas as demais, exceto ela mesma e seu(a) cônjuge, resultando em 180 cumprimentos. O conteúdo aqui é contar pares de cumprimentos sem incluir os casais.

Passo 2

Se existem 2n pessoas, o número total de pares possíveis de cumprimentos é
binom2n2
Porém, cada um dos n casais não se cumprime, então devemos subtrair n. Assim,
cumprimentos = binom2n2 - n

Passo 3

Igualamos à quantidade dada, 180, e resolvemos para n:
binom2n2 - n = 180
2n(2n-1)2 - n = 180
n(2n-1) - n = 180
2n^2 - 2n = 180
n^2 - n - 90 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática n^2 - n - 90 = 0, calculamos o discriminante:
De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot(-90) = 1 + 360 = 361,
n = 1 pm raiz3612 = 1 pm 192
Descartamos a raiz negativa e ficamos com
n = 1 + 192 = 10

Resposta

a) 10

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