(FEI-SP) As medidas dos lados de um triângulo, em centímetros, são expressas por (x+2),(x^2-8) e (3 x-2) e estão, nessa ordem, em progressão aritmética. Nessas condições:
a) 0 maior lado do triângulo tem 8 cm .
b) 0 menor lado do triângulo tem 5 cm .
c) O perímetro do triângulo é igual a 12 cm .
d) O triângulo é equilátero.
e) A área do triângulo é de 24 cm^2.

Passo 1

O enunciado dá as medidas dos lados de um triângulo em centímetros como
(x+2), (x^2-8) e (3x-2) e diz que esses três valores estão, nessa ordem, em progressão aritmética. Vamos usar a definição de progressão aritmética, resolver para x, descartar raízes que não geram um triângulo válido e então verificar quais das proposições (a)–(e) são verdadeiras.

Passo 2

Três termos a1,a2,a3 estão em progressão aritmética se
a2 - a1 = a3 - a2
Aqui isso vira
(x^2-8) - (x+2) ;=; (3x-2) - (x^2-8)

Passo 3

Simplificando a equação:
x^2 - 8 - x - 2 = -x^2 + 3x + 6 Longrightarrow 2x^2 - 4x -16 = 0 Longrightarrow x^2 - 2x -8 = 0
x = 2 pm raiz4 + 322 = 2pm62 ;Longrightarrow; x = 4 ou x = -2

Passo 4

Para formar um triângulo, cada lado deve ser positivo. Se x=-2, então x+2=0, o que não é um lado válido. Logo só aceitamos x=4.

Passo 5

Com x=4, os lados valem
x+2 = 6, x^2-8 = 8, 3x-2 = 10
Agora, avaliamos as proposições:
  • (a) “o maior lado tem 8,cm”: aqui o maior é 10, falso.
  • (b) “o menor lado tem 5,cm”: aqui o menor é 6, falso.
  • (c) “o perímetro é 12,cm”: 6+8+10 = 24neq12, falso.
  • (d) “o triângulo é equilátero”: os lados são distintos, falso.
  • (e) “a área é 24,cm ^2”: como 6^2+8^2=10^2, é triângulo retângulo e área = 6cdot82 = 24, áverdadeiro.

Resposta

e) A área do triângulo é de 24,cm ^2.

Exercícios de Livros Relacionados