(Fuvest-SP) Em uma progressão aritmética a1, a2, ldots, an, ldots a soma dos n primeiros termos é dada por Sn=b n^2+n, sendo b um número real. Sabendo-se que a3=7, determine:
a) O valor de b e a razão da progressão aritmética.
b) 020 : termo da progressão.
c) A soma dos 20 primeiros termos da progressão.

Passo 1

O enunciado trata de uma progressão aritmética an cuja soma dos n primeiros termos é
Sn = b n^2 + n,
onde b é um real. Além disso, sabemos que a3 = 7. Vamos usar a relação entre soma parcial e termo geral:
an = Sn - Sn-1

Passo 2

Calculando an pela definição:
an = Sn - Sn-1 = l(b n^2 + nr) - l[b(n-1)^2 + (n-1)r] = bl(n^2-(n-1)^2r) + l(n-(n-1)r)
Como n^2-(n-1)^2 = 2n-1 e n-(n-1)=1, obtemos
an = b(2n-1) + 1 = 2bn - b + 1

Passo 3

Impondo n=3 em an e usando a3=7:
a3 = 2bcdot3 - b + 1 = 6b - b + 1 = 5b + 1 overset!= 7 Longrightarrow 5b = 6 Longrightarrow b = 65

Passo 4

A razão d da PA é
d = an - an-1 = l(2bn - b + 1r) - l[2b(n-1) - b + 1r] = 2b
Substituindo b=tfrac65
d = 2cdot65 = 125

Passo 5

Para o termo de ordem 20 usamos a fórmula geral an = 2bn - b + 1:
a20 = 2bcdot20 - b + 1 = 40b - b + 1 = 39b + 1 = 39cdot65 + 1 = 2345 + 1 = 2395

Passo 6

A soma dos 20 primeiros termos é dada diretamente por
S20 = bcdot20^2 + 20 = bcdot400 + 20 = 400cdot65 + 20 = 480 + 20 = 500

Resposta

a) b = dfrac65 e d = dfrac125
b) a20 = dfrac2395
c) S20 = 500

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