(FEI-SP) Seja a matriz A=(ccc1 & 0 & 3 1 & sen x & 0 0 & 4 & cos x), com x in R. Sendo det(A) o determinante da matriz A, podemos afirmar que os valores mínimo e máximo assumidos por det(A) são, respectivamente:
a) 232 e 252
b) 11 e 13
c) 112 e 132
d) 23 e 25
e) -1 e 1

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 0 & 3 1 & sen x & 0 0 & 4 & cos x ,
queremos determinar det(A) em função de x e, em seguida, achar os valores mínimo e máximo que essa expressão assume. O conteúdo envolvido é cálculo de determinante de matriz 3times3 e uso de identidades trigonométricas para obter o intervalo da função.

Passo 2

Vamos calcular det(A) expandindo pela primeira linha. Tem-se:
det(A) =1cdotdetsen x & 0 4 & cos x -0cdot(cdots) +3cdotdet1 & sen x 0 & 4
Logo,
det(A) =1l(sen xcos x - 0cdot4r) +3l(1cdot4 - 0cdotsen xr) =sen xcos x + 12

Passo 3

Use a identidade
sen(2x) = 2,sen xcos x Longrightarrow sen xcos x = tfrac12,sen(2x)
Então
det(A) = tfrac12,sen(2x) + 12

Passo 4

Como sen(2x) varia entre -1 e 1, a expressão tfrac12,sen(2x) varia entre -tfrac12 e +tfrac12. Portanto
det(A)inl[,12-tfrac12,;12+tfrac12,r] =[,11,5,;12,5,] =[,tfrac232,;tfrac252,]

Resposta

Os valores mínimo e máximo de det(A) são, respectivamente, tfrac232 e tfrac252, ou seja, alternativa (a).

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