(Unicamp-SP) Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se P^top=P^-1, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa.
a) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal.
Dica: você pode usar o fato de que P^-1 P=I em que I é a matriz identidade.
P=[rrr-13 & -23 & -23 -23 & a & -13 -23 & b & 23]
b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A=Q R, sendo Q e R as matrizes abaixo. Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema A x=b, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que X=A^-1 b.
Q=[lrr12 & -12 & -raiz22 12 & -12 & raiz22 raiz22 & raiz22 & 0], R=[rrr2 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & raiz2], b=[r6 -2 0].

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na (a) queremos determinar a e b para que a matriz
P = -tfrac13 & -tfrac23 & -tfrac23 -tfrac23 & a & -tfrac13 -tfrac23 & b & tfrac23
seja ortogonal, ou seja, satisfaça P^top P=I. Na (b) temos A=QR com Q ortogonal e queremos resolver Ax=b usando
x = A^-1b = R^-1Q^top b,
sem formar A explicitamente.

Passo 2

Para (a) note que as colunas de uma matriz ortogonal são vetores unitários mutuamente ortogonais. Seja
Já verificamos que e , e que . Impomos então
e a normalização

Passo 3

Resolvendo o sistema
a+b=tfrac13, 3a-6b=4,
temos a=tfrac23 e b=-tfrac13. Verifica-se que com esses valores a^2+b^2=5/9, garantindo também c2cdot c2=1. Logo
a=tfrac23, b=-tfrac13

Passo 4

Agora (b): como A=QR e Q é ortogonal,
x = A^-1b = R^-1Q^top b
Então basta calcular y=Q^top b e depois resolver Rx=y.

Passo 5

O vetor dado é b=(6,-2,0)^top. As colunas de Q são
q1=tfrac12tfrac12tfracraiz22,; q2=-tfrac12-tfrac12tfracraiz22,; q3=-tfracraiz22tfracraiz220
Como Q^top b tem componentes yi=qicdot b, calculamos
y1 = q1cdot b = 3 -1 +0 = 2, y2 = q2cdot b = -3 +1 +0 = -2,
y3 = q3cdot b = -3raiz2 -1raiz2 = -4raiz2
Portanto y=(2,-2,-4raiz2)^top.

Passo 6

A matriz R é diagonal
R=2&0&00&-2&00&0&raiz2,
então Rx=y
2x1=2;Rightarrow;x1=1, -2x2=-2;Rightarrow;x2=1, raiz2,x3=-4raiz2;Rightarrow;x3=-4
Logo
x=11-4

Resposta

a) a=tfrac23, b=-tfrac13.
b) x=(1,,1,,-4)^top.

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