(Unicamp-SP) Uma matriz real quadrada é dita ortogonal se , ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa.
a) Considere a matriz abaixo. Determine os valores de e para que seja ortogonal.
Dica: você pode usar o fato de que em que I é a matriz identidade.
b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A=Q R, sendo Q e R as matrizes abaixo. Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema A x=b, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que X=A^-1 b. Q=[lrr12 & -12 & -raiz22 12 & -12 & raiz22 raiz22 & raiz22 & 0], R=[rrr2 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & raiz2], b=[r6 -2 0].
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na (a) queremos determinar a e b para que a matriz
P = -tfrac13 & -tfrac23 & -tfrac23 -tfrac23 & a & -tfrac13 -tfrac23 & b & tfrac23
seja ortogonal, ou seja, satisfaça P^top P=I. Na (b) temos A=QR com Q ortogonal e queremos resolver Ax=b usando
x = A^-1b = R^-1Q^top b,
sem formar A explicitamente.
Passo 2
Para (a) note que as colunas de uma matriz ortogonal são vetores unitários mutuamente ortogonais. Seja
Já verificamos que e , e que . Impomos então
e a normalização
Passo 3
Resolvendo o sistema
a+b=tfrac13, 3a-6b=4,
temos a=tfrac23 e b=-tfrac13. Verifica-se que com esses valores a^2+b^2=5/9, garantindo também c2cdot c2=1. Logo
a=tfrac23, b=-tfrac13
Passo 4
Agora (b): como A=QR e Q é ortogonal,
x = A^-1b = R^-1Q^top b
Então basta calcular y=Q^top b e depois resolver Rx=y.
Passo 5
O vetor dado é b=(6,-2,0)^top. As colunas de Q são
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 163