(FEI-SP) Num triângulo isósceles, o maior lado mede 10 cm e o maior ângu-
lo interno é o dobro da soma dos outros dois ângulos internos. A área deste triângulo é:
a) 25 raiz33 cm^2
b) 25 raiz32 cm^2
c) 252 cm^2
d) 25 raiz36 cm^2
e) 25 raiz34 cm^2

Passo 1

O enunciado dá um triângulo isósceles cujo maior lado mede 10 cm e cujo maior ângulo interno é o dobro da soma dos outros dois ângulos. Vamos determinar primeiro os três ângulos do triângulo e depois usar razão seno e fórmula da área.

Passo 2

Denotemos por A o maior ângulo (oposto ao maior lado a=10) e por B e C os outros dois ângulos. Do enunciado:
A = 2,(B + C)
Como A+B+C=pi, substituímos B+C=pi - A e obtemos
A = 2(pi - A);Longrightarrow;3A = 2pi;Longrightarrow;A = 2pi3;(120^circ)

Passo 3

É isósceles e A é o ângulo único maior, logo os ângulos iguais são B e C. Como B+C=pi - A=pi/3, segue
B = C = pi6;(30^circ)

Passo 4

Pela lei dos senos, para um dos lados iguais b=c:
bsin B ;=;asin A ;Longrightarrow; b = a,sin Bsin A = 10cdotsin(30^circ)sin(120^circ) = 10cdot12raiz32 = 10raiz3 = 10raiz33,cm

Passo 5

Usamos a fórmula da área em função de dois lados e do ângulo entre eles:
Área =12,bcdot c;sin A =12,b^2;sinl(120^circr) Á
Substituindo b^2=(10/raiz3)^2=100/3 e sin(120^circ)=tfracraiz32,
Área =12cdot1003cdotraiz32 =100raiz312 =25raiz33,cm^2 Á

Resposta

(a) 25raiz33

Exercícios de Livros Relacionados