(UF-RS) Os lados de um terreno triangular têm medidas diferentes, as quais, em certa ordem, formam uma progressão geométrica crescente. O conjunto dos possíveis valores da razão dessa progressão é o intervalo:
а) (-raiz5+12, raiz5+12)
d) (1, raiz52)
b) (raiz5-12, raiz5+12)
e) (1, raiz5+12)
c) (1, 2 raiz5-12)

Passo 1

O enunciado diz que os lados de um terreno triangular têm medidas diferentes e, em certa ordem, formam uma progressão geométrica crescente. O conteúdo aqui envolve progressão geométrica e desigualdades de triângulo (soma de dois lados maior que o terceiro). Chamaremos os lados de a, ar, ar^2 com a>0 e razão r>1.

Passo 2

Para que a, ar, ar^2 sejam lados de um triângulo, devem satisfazer as três desigualdades de triângulo:
a + ar > ar^2,
ar + ar^2 > a,
ar^2 + a > ar

Passo 3

Observe que, para r>1, as desigualdades ar + ar^2 > a e ar^2 + a > ar são sempre verdadeiras, pois envolvem soma de termos positivos crescentes. A única condição não trivial vem de
a + ar > ar^2,
que, dividindo por a>0, vira
1 + r > r^2
ou seja
r^2 - r - 1 < 0

Passo 4

A equação ,r^2 - r - 1 = 0 tem raízes
r = 1 pm raiz52
Como a parábola abre para cima, a desigualdade r^2 - r - 1 < 0 ocorre quando
1 - raiz52 < r < 1 + raiz52

Passo 5

Como buscamos uma progressão geométrica crescente, impomos r>1. Intersectando com a solução anterior, obtemos
1 < r < 1 + raiz52

Resposta

A razão r pertence ao intervalo l(1,,tfracraiz5+12r), correspondente à alternativa (e).

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