(UF-PA) Feita uma pesquisa entre 100 alunos, do ensino médio, acerca das disciplinas português, geografia e história, constatou-se que 65 gostam de português, 60 gostam de geografia, 50 gostam de história, 35 gostam de português e geografia, 30 gostam de geografia e história, 20 gostam de história e português e 10 gostam dessas três disciplinas. O número de alunos que não gosta de nenhuma dessas disciplinas é:
a) 0
b) 5
c) 10
d) 15
e) 20

Passo 1

O enunciado descreve uma pesquisa com 100 alunos sobre três disciplinas: português, geografia e história. Chamando de P, G e H os conjuntos de alunos que gostam de cada disciplina, temos os tamanhos:
|P|=65, |G|=60, |H|=50,
|Pcap G|=35, |Gcap H|=30, |Hcap P|=20, |Pcap Gcap H|=10
O conteúdo necessário é o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos, que nos permite achar quantos alunos gostam de pelo menos uma disciplina.

Passo 2

Pelo princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos,
|Pcup Gcup H| = |P| + |G| + |H| - |Pcap G| - |Gcap H| - |Hcap P| + |Pcap Gcap H|

Passo 3

Substituindo os valores dados,
|Pcup Gcup H| = 65 + 60 + 50 - 35 - 30 - 20 + 10 = 175 - 85 + 10 = 100
Isso significa que exatamente 100 alunos gostam de pelo menos uma dessas disciplinas.

Passo 4

Como há 100 alunos no total e todos eles gostam de alguma disciplina, o número de alunos que não gosta de nenhuma é
100 - |Pcup Gcup H| = 100 - 100 = 0

Resposta

0

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