(Fesp-97)) Assinale as alternativas corretas:
0) Se fé uma função contínua e crescente no intervalo [a, b], então f tem sua inversa f^-1 definida no intervalo [f(a), f(b)].
  1. Se fé uma função real de f(x-1)=x^2-x, então f(x)=x^2+x+1.
  2. Se f é uma função inversível e o gráfico de f passa pelo ponto (1,3), então o gráfico de f^-1 passa pelo ponto ( 1,1 / 3 ).
  3. A função f(x)=x^2+x é par.
  4. Se fe g são funções ímpares, então ( f+g ) é uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das afirmações 0) a 4) sobre funções são verdadeiras. Vamos usar conceitos de monotonicidade e inversibilidade (item 0), transformação de variável para achar uma fórmula de função (item 1), propriedade dos gráficos de funções inversas (item 2), paridade de funções (item 3) e soma de funções ímpares (item 4).

Passo 2

Analisando a afirmação 0): “Se é contínua e crescente em , então tem inversa definida em .”
Uma função contínua e estritamente crescente em é injetora, logo inversível, e sua imagem é exatamente o intervalo . Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação 1): “Se f é tal que f(x-1)=x^2-x, então f(x)=x^2+x+1.”
Para encontrar f(x), faça t=x-1implies x=t+1. Então
f(t)=fl((t+1)-1r)=(t+1)^2-(t+1)=t^2+2t+1-t-1=t^2+t
Logo f(x)=x^2+x, não x^2+x+1. A afirmação é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação 2): “Se f é inversível e passa por (1,3), então f^-1 passa por (1,1/3).”
O gráfico da inversa troca coordenadas, de modo que se f(1)=3 então f^-1(3)=1, isto é, passa por (3,1), não (1,1/3). A afirmação é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação 3): “A função f(x)=x^2+x é par.”
Para ser par precisamos ter f(-x)=f(x). Mas
f(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-xneq x^2+x=f(x)
em geral. Portanto, é falsa.

Passo 6

Analisando a afirmação 4): “Se f e g são funções ímpares, então (f+g) é ímpar.”
Para funções ímpares valem f(-x)=-f(x) e g(-x)=-g(x). Então
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-l(f(x)+g(x)r),
logo f+g também é ímpar. A afirmação é verdadeira.

Resposta

As alternativas corretas são 0 e 4.

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