(Fesp-97)) Assinale as alternativas corretas:
0) Se fé uma função contínua e crescente no intervalo
, então f tem sua inversa
definida no intervalo
.
- Se fé uma função real de
, então
.
- Se f é uma função inversível e o gráfico de f passa pelo ponto
, então o gráfico de
passa pelo ponto (
).
- A função
é par.
- Se fe g são funções ímpares, então (
) é uma função ímpar.
0) Se fé uma função contínua e crescente no intervalo
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais das afirmações 0) a 4) sobre funções são verdadeiras. Vamos usar conceitos de monotonicidade e inversibilidade (item 0), transformação de variável para achar uma fórmula de função (item 1), propriedade dos gráficos de funções inversas (item 2), paridade de funções (item 3) e soma de funções ímpares (item 4).
Passo 2
Analisando a afirmação 0): “Se
é contínua e crescente em
, então
tem inversa
definida em .”
Uma função contínua e estritamente crescente em é injetora, logo inversível, e sua imagem é exatamente o intervalo . Portanto, a afirmação é verdadeira.
Uma função contínua e estritamente crescente em
Passo 3
Analisando a afirmação 1): “Se
é tal que
, então
.”
Para encontrar , faça
. Então
Para encontrar
Logo
, não
. A afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação 2): “Se
é inversível e passa por
, então
passa por
.”
O gráfico da inversa troca coordenadas, de modo que se então
, isto é, passa por
, não
. A afirmação é falsa.
O gráfico da inversa troca coordenadas, de modo que se
Passo 5
Analisando a afirmação 3): “A função
é par.”
Para ser par precisamos ter . Mas
Para ser par precisamos ter
em geral. Portanto, é falsa.
Passo 6
Analisando a afirmação 4): “Se
e
são funções ímpares, então
é ímpar.”
Para funções ímpares valem e
. Então
Para funções ímpares valem
logo
também é ímpar. A afirmação é verdadeira.
Resposta
As alternativas corretas são
e
.