(FGV-2003) O custo diário de produção de um artigo é C=50+2 x+0,1 x^2, onde x é a quantidade diária produzida. Cada unidade do produto é vendida por R$ 6,50. Entre que valores deve variar x para não haver prejuízo?
a) 6,50 Entre que valores deve variar x para não haver prejuízo? a)
b) b)
c) c)
d) d)

Passo 1

O enunciado dá o custo diário
C(x)=50+2x+0,1x^2
e informa que cada unidade é vendida a R$ 6,50. Precisamos determinar para que valores de x o lucro diário seja não negativo, ou seja, resolver uma desigualdade quadrática.

Passo 2

Definimos a função lucro diário P(x) como receita menos custo. A receita é 6,50x, logo
P(x)=6,50x - l(50+2x+0,1x^2r)

Passo 3

Distribuindo e simplificando, obtemos
P(x)=-0,1x^2 +4,50x -50
Queremos P(x)>=0, isto é,
-0,1x^2 +4,50x -50 >= 0

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por -1 (inverte o sinal da desigualdade) e depois por 10 para eliminar decimais:
x^2 -45x +500 <= 0
As raízes da equação x^2-45x+500=0 são
x=45pmraiz45^2-4cdot5002 =45pmraiz2025-20002 =45pm52,
isto é, x=20 e x=25.

Passo 5

Como o coeficiente de x^2 em x^2-45x+500 é positivo, a parábola é côncava para cima e a região onde x^2-45x+500<=0 fica entre as raízes. Portanto, o lucro não é negativo se
20 <= x <= 25

Resposta

20 <= x <= 25. (alternativa b) )

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