(FGV-2003)
Dê o domínio da função f(x)=raizx-1x^2-7 x+12.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=raizx-1x^2-7x+12
Estamos em teoria de domínio de funções envolvendo radical e fração: para existir f(x) precisamos que o denominador seja não nulo e que o radicando seja maior ou igual a zero.

Passo 2

Imponho as duas condições simultâneas:
1. Denominador não pode ser zero:
x^2-7x+12neq0
2. Argumento do radical deve ser não negativo:
x-1x^2-7x+12>=0

Passo 3

Fatoro o denominador para encontrar seus zeros:
x^2-7x+12=(x-3)(x-4)
Logo os pontos críticos são as raízes do numerador e do denominador:
x=1(zero do numerador), x=3,4(zeros do denominador)

Passo 4

Analiso o sinal da fração
x-1(x-3)(x-4)
em cada intervalo determinado por 1,3,4. Escolhendo um ponto-teste em cada intervalo:
  • Para x<1 (por ex. x=0): numerador negativo, denominador (0-3)(0-4)>0, fração negativa to excluído.
  • Para 1<x<3 (por ex. x=2): numerador positivo, denominador (2-3)(2-4)>0, fração positiva to incluído.
  • Para 3<x<4 (por ex. x=3,5): numerador positivo, denominador (+)cdot(-)<0, fração negativa to excluído.
  • Para x>4 (por ex. x=5): numerador positivo, denominador (+)cdot(+)>0, fração positiva to incluído.

Passo 5

Dos intervalos acima, a fração é >=0 em
1<= x<3 e x>4
Em x=1 o radicando vale zero (permitido). Em x=3 ou x=4 o denominador se anula (proibido).

Resposta

O domínio de f é
[1,3),cup,(4,infty)

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